Cравнение бесконечно малых функций

Пусть a(x), b(x) - бесконечно малые функции при x®x₀, т.е.

выполняется условие

Тогда в окрестности точки х₀ значения функции a(х), b(x)

неограниченно уменьшаются по абсолютной величине, причем

это уменьшение происходит с различной “быстротой”, например, при х® функция a(х)=х уменьшается “быстрей”, чем функция b(х)=х². В связи с этим приобретает определенный интерес сравнение по быстроте их стремления к нулю в окрестности данной точки. Чтобы сравнить в этом смысле бесконечно малые функции a(х), b(х), естественно составить отношение a(х)b(х) и изучить его поведение вблизи точки х = х₀.

y y=x²

y=x

0 x

Рис.19

Определение 59. Функция a(х)-б.м.ф. более высокого порядка

малости при х®х₀, если a(х)=о(b(х) при х®х₀ .

Пример 63. Рассмотрим функции a(х)=1-cosx; b(х)=3х. Очевидно,

a(х), b(х) -б.м.ф. при х®. Cравним их при х®;

Определение 60. Функция a(х)-есть функция одного порядка с функцией b(х) при х®х₀, если .Функции

одного порядка обозначают так: a(x) = 0(b(x) при x®x₀.

Пример 64. Рассмотрим функции a(x) = sin2x, b(x) = x - б.м.ф. при x®. Следовательно,

.

Определение 61. Функция a(х), b(x)-есть б.м.ф. эквивалентные при х®х₀, если . Эквивалентные функции обозначают так: a(x)~b(x) при х®х₀

Пример 65. Функции a(x) = sinx, b(x) = x - б.м.ф. при х®

или sinx~x - при х®.

Определение 62. Функция a(х)-есть б.м.ф. k-го порядка малости относительно b(х), если

.

Если А=0, то a(x)=0((b(x)^k) при х®х₀. Итак, ,

если 1) А=0 Þ a(х)=о(b(х)) х®х₀

2) А¹0 Þ a(х)=(b(х)) х®х₀

3) А=1 Þ a(х)~b(х) х®х₀

Таблица эквивалентных функций (при ):

1. ~

2. .

3. ~

4. ~

5. ~

6. ~ .

7. ~

8. ~