Геометрическая интерпретация непрерывности функции в точке

Определение 68. ¦(x) - непрерывна в точке x_o Û ("e > 0) ($d >)

("хÎХ | Dx |<d): | D¦ | < e

у

f(х₀+Dх) y=f(x)

Dy

f(х₀)

0 х₀ Dх х₀+Dх х

Рис.20

Если y = f(х) - непрерывна в точке х₀, то малому приращению Dх

аргумента соответствует малое приращение функции |D¦|

5.10. Арифметические действия над непрерывными функциями

Теорема 24. Если ¦(x), g(x) - непрерывны в точке x_o, тогда

1. = (¦(x_o) ± g(x_o)) - сумма и разность непрерывна;

2. = ¦(x_o)×g(x_o) - произведение непрерывно;

3. (g(x_o) ¹ 0) - частное непрерывно.

Доказательство. По определению непрерывности функции в точке

=

= .

.

Пример 68. Доказать, что ¦(x) = х² непрерывна в каждой точке области определения.

Решение. Зафиксируем "x_oÎR. Найдем приращение

Dy = ¦(x_o + Dx) - ¦(x_o) = (x_o + Dx)² - x_o² = x_o² + 2x_oDx + (Dx)² - x_o² =

= 2x_oDx + (Dx)², т.к. = (2xDx + (Dx)² = 0.

Следовательно, ¦(x) = х² – непрерывна вна всей числовой прямой.

Теорема 25. (о непрерывности сложной функции).

Если 1) y = y(x) непрерывна в точке x_o,

2) z = z(y) непрерывна в точке y_o,

Тогда 1),2)Þ z(x) = z(y(x)) - непрерывна в точке x_o.

Используя непрерывность, можно показать справедливость теорем о предельном переходе в показателе степени и под знаком логарифма.

Теорема 26.

l) $ Þ "a>0 $ a^¦(x) =

2) >0Þ log(f(x)) = log_a

Пример 69. Найти ,

Решение. = =5².