Определение 41

= A Û ("e>0)($d>)("xÎC, x< -d): |f(x) - A|< e

Определение 42. = A Û ("e >0)($d >)("xÎC, x > d):

|f(x) - A| < e

Пример 46. Показать, что =0, =0.

Решение. Найдем такое d, что при выполнении x>-d будет выполняться и неравенство

| -0|<e Û | |<e |x|> т.к. x<0 x<- . Следовательно, при x> , будет выполняться | -0|<e Û =0. Аналогично, | -0|<e Û | |<e Û |x|> ,т.к. x>0 x> . Следовательно, при x> , будет выполняться | -0|<e =0.

4.4. Предел функции при x® ¥

f(x) = A Û ("e >)($d >)("xÎC: |x| > d): |f(x) - A| < e

Пример 47. Показать, что = 0.

Решение. Для "e > 0 найдем d > 0, при котором выполняется неравенство | -0| < e Û | | < e Û | x |> .

Следовательно, если

|x|> d = , то | - 0| < e и = 0.

Пример 48. Показать, что = .

Решение. Возьмем "e >0. Найдем такое d >0, при котором выполняется неравенство

| - ½ < e Û ½ ½ < e Û |2х+1| > Þ

|2x|+1 > Û |2x| >( -1) Û |x| > ( -1). Если в качестве d взять d= ( -1), то при |x|>d будет выполняться и неравенство | - |<e. Это значит, что = .