Б). Глобальные свойства непрерывных функций

(свойства непрерывных функций на отрезке)

Теорема 28.

(Вейерштрасса)(об ограниченности непрерывной функции на отрезке (рис.25)). Если

f(x)

M

y=f(x)

0 a b x

-M

Рис.25

Примечание: Теорема Вейерштрасса может не выполняться,

если рассматривать ее не на отрезке [a,b], а на интервале (a,b) или полуинтервале.

Пример 73.

y

y=1/x

0 1 x

Рис. 26

Теорема 29. (Вейерштрасса 2)

(о достижении на отрезке непрерывной функцией своих точных граней (рис.27)).

y

f(x)=M

f(x)=m

0 a x₁ x₂ b x

Рис. 27

Теорема 30. (Больцано - Коши)

(о промежуточном значении, непрерывном на отрезке функции (рис.28)).

Пусть 1) f (x)ÎC[a,b]

2) f (a) = A, f(b) =B, A<B

3) $CÎ[A,B]

Тогда 1)-3) Þ$cÎ[a,b]:f (c) = C

у

B y = f(x)

C

A

0 а c b x

Рис. 28

Следствие 1. (о нулевом значении непрерывной функции на отрезке) (рис.29).

Пусть 1) ,

2) ,

Тогда 1),2) .

y

y = f(x)

a c b

0 x

Рис. 29

Пример 74. Показать, что один из корней уравнения

x³ + 3x² + 4x - 1 = 0 находится на отрезке [ -1; 1 ].