И их свойства

Определение 43.

AÛ("e>)($d>)("xÎC,0<½x-x₀½<d):½f(x)-A½<e. Если A=0, то получаем определение бесконечно малой функции.

Определение 44.

0 Û("e>)($d>)("xÎC 0<½x-x₀½<d):½f(x)-0½<e.

Пример 60. Показать, что - бесконечно малая

функция при x®0.

Решение. По e >0 найдем такое значение d>0, что при

½x-x₀½<d: ½ ½<e Û½x½ ½<e Þ ½x½<e.

Очевидно, положив d=e, будем иметь ½ ½<e,

т.е. f(x)-бесконечно малая функция.

Пример 61. Показать, что f(x)=x -1 -бесконечно малая функция

при x®1.

Решение. Возьмем сколь угодно малое e. По e найдем d,

чтобы при 0<½x-1½<d: ½x-1½<e. Очевидно, что при d=e

выполняются оба неравенства.

Теорема 9. A Û (f(x)=A+a(x))Ù(a(x) = f(x) -A

- бесконечно малая функция при x ® x₀).

Пример 62. Дана функция f(x)=1+1/x. Показать, что .

Решение. Функцию f(x)=1+1/x можно представить в виде f(x)=1+a, где a(x)-бесконечно малая функция при х®¥.