Непрерывность функции

Пусть "xÎU(x_o,d)$¦(x) Û ¦(x) определена в окрестности точки x_o.

Определение 63. Функция ¦(x) непрерывна в точке х_о Û$ =¦(x_o)

Так как Dx = x - x_o, ¦(x) - ¦(x_o) = D¦(x₀), то определение непрерывности можно записать = 0. Учитывая, что = х₀ можно записать и так: = f×() = ¦(x_o)

Определение 64. ¦(x) - непрерывна в точке

х₀ Û ("e > 0)($d >)("хÎХ, | x - x_o | < d):|¦(x) - ¦(x_o)|< e.

5.8. Необходимое и достаточное условие непрерывности

функции в точке

Определение 65. Функция ¦(x) - непрерывна в точке (х_о - 0, d)

слева Û = ¦(x_o - 0)

Определение 66. Функция ¦(x) – непрерывна в точке (х_о + 0, d)

справа Û = ¦(x_o + 0)

Определение 67. Функция ¦(x) – непрерывна в точке x_o

Û ¦(x)ÎС(x_o - 0, d) Ù (¦(x)ÎС(x_o + 0, d)

Теорема 23. Пусть 1) = ¦(x_o - 0),

2) = ¦(x_o + 0).

Тогда 1)2) ¦(x_o - 0) = ¦(x_o + 0) = .

Доказательство.

Пусть =A ("e > 0)($d >)("хÎХ, | x - x_o | < d):

|¦(x) - A|< e. Так как |¦(x) - A|< e выполняется на интервале () и на интервале (), то согласно определению

= А и =А

Обратно, пусть = А и =А. Тогда

("e > 0)($ >)("хÎХ, x_o - < x < x_o): |¦(x) - A|< e.

("e > 0)($ >)("хÎХ, x_o < x < x_o - ): |¦(x) - A|< e.

Обозначим через d = min , тогда для всех х таких, что

0< | x - x_o | < d. Это означает, что .