Примеры решения задач. З а д а ч а 10. Найти радиус шестой зоны Френеля для волновой поверхности, удаленной на расстояние 15 м от точечного источника монохроматического света с

З а д а ч а 10. Найти радиус шестой зоны Френеля для волновой поверхности, удаленной на расстояние 15 м от точечного источника монохроматического света с длиной волны 650 нм, если точка наблюдения находится на расстоянии 24 м от поверхности.

Дано: ; м; м; м. Найти: .

Решение. Так как , радиус зоны Френеля (см. рис. 11) вычисляется подстановкой численных данных в формулу (36): м. Ответ: , м.

З а д а ч а 11. Экран Э (рис. 12)для наблюдения дифракции Френеля находится на расстоянии 12 м от точечного монохроматического источника света с длиной волны 720 нм. На расстоянии 5 м от источника S помещена преграда с диафрагмой П. При каком радиусе отверстия диафрагмы центр дифракционного изображения отверстия M будет а) наиболее темным, б) наиболее светлым?

Дано: м; м; м; а) б) Найти:

Решение. а) Наиболее светлое пятно в центре дифракционного изображения отверстия на экране (рис. 13, а) – следствие наименьшей из всех возможных амплитуд результирующей волны, приходящей в центр изображения. Согласно формуле (39) максимум амплитуды результирующей волны наблюдается при нечетном числе открытых отверстием зон Френеля :

Следовательно, чем светлее центр дифракционного изображения отверстия на экране, тем больше сумма амплитуд в правой части формулы (39). Согласно формуле (35) амплитуда волн, приходящих в точку наблюдения от зон Френеля, убывает с ростом номера зоны. Следовательно, чем больше сумма амплитуд, тем больше амплитуда волны, приходящей от последней ( -той) открытой зоны. Но среди волн, приходящих от зон с нечетными номерами, максимальную амплитуду имеет волна, приходящая от первой зоны Френеля. Таким образом, в данном случае Так как радиус отверстия (рис. 12) вычисляется по формуле (36) при , в которой и : . Подставив сюда численные данные, получим: м.

а б

Рис. 12 Рис. 13

б) Наиболее темное пятно в центре дифракционного изображения отверстия на экране (рис. 13, б) – следствие наименьшей из всех возможных амплитуд результирующей волны, приходящей в центр изображения. Согласно формуле (38) минимум амплитуды результирующей волны наблюдается при четном числе открытых отверстием зон Френеля : Следовательно, чем темнее центр дифракционного изображения отверстия на экране, тем меньше разность амплитуд в правой части формулы (38). Согласно формуле (35) амплитуда волн, приходящих в точку наблюдения от зон Френеля, убывает с ростом номера зоны. Следовательно, чем меньше разность амплитуд, тем больше амплитуда волны, приходящей от последней ( -той) открытой зоны. Но среди волн, приходящих от зон с четными номерами, максимальную амплитуду имеет волна, приходящая от второй зоны Френеля. Таким образом, в данном случае Так как радиус отверстия вычисляется по формуле (36) при в которой и : . Подставив сюда данные, получим: м.

Ответ: а) м;

б) м.

З а д а ч а 12. На непрозрачную преграду с отверстием радиусом 1 мм падает плоская монохроматическая волна. Когда расстояние от преграды до установленного за ней экрана равно 0,381 м, в центре дифракционной картины наблюдается резкий минимум интенсивности. При удалении экрана до расстояния 0,508 м минимум интенсивности сменяется резким максимумом. Определить длину волны падающего света и число зон Френеля, открывавшихся отверстием при первом положении экрана.

Дано: м; м; м; Найти:

Решение. Так как падающая на преграду П волна плоская (рис. 14), для радиуса отверстия в обоих положениях экрана Э справедлива формула (37):   ; (40)

(41)

В формулах (40) и (41) и – число открываемых отверстием зон Френеля при первом и втором положениях экрана соответственно. Установим связь между ними. Согласно формулам (40) и (41) при возрастании расстояния до преграды () и постоянстве радиуса отверстия и длины волны число открытых зон уменьшается: Так как минимум сменяется максимумом один раз, и отличаются на 1: Подставим это равенство в формулу (41), а из полученного соотношения выразим :

(42)

Выразим из формулы (40):

(43) Рис. 14

и, приравняв правые части соотношений (42) и (43) (), найдем длину волны: Подставив в это выражение численные данные, получим: м. Подставив это значение в формулу (43), найдем:

Ответ: м;