Тұрақтыны вариациялау әдісімен интегралдау

Айталық,

(11)

теңдеуі берілсін. Мұнда , k =1,2,..., n және f(x) функциялары [ a,в ] сегментінде үзіліссіз функциялар. Сондай–ақ (4.24) теңдеуге сәйкес келетін біртектес теңдеудің, яғни

(12)

теңдеуінің фундаментальді шешімдер системасы белгілі болсын, онда

(13)

формуласы (12) теңдеудің жалпы шешімін береді. Міне осылар белгілі болған жағдайда біртектес емес теңдеудің шешімін мына тұрде немесе

(14)

іздейміз. Мұнда жаңа белгісіз функциялар. белгісіз функцияларын табу үшін функцияларын байланыстыратын n теңдеу қажет. Мұндай системаны құрғанда алғашқы теңдеуді еркін түрде таңдап алып, ал n –ші теңдеуді (14) функция (11) теңдеудің шешімі болатындай етіп іздейді. Алғашқы (n- 1) теңдеулер ретінде төмендегі теңдеуді аламыз.

(15)

Сондай-ақ (14) формуламен анықталған функция (11) теңдеудің шешімі болу үшін функциялары тағы да мына

(16)

теңдікті қанағаттандырулары керек. Енді (15) және (16) теңдеулерден тұратын төмендегі системаны құрамыз.

(17)

Құрылған системаның негізгі анықтауышы функцияларының Вронский анықтауышы болады. Ол , өйткені функциялары фундаментальды шешімдер системасын құрайды. Сондықтан (17) системаның жалғыз ғана шешімі болады. Яғни, Осыдан үшін табылған өрнекті (14) теңдікке апарып қойып, (11) теңдеудің жалпы шешімін табамыз.

мұнда - еркін тұрақтылар.

Мысал-3. теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Алдымен біртектес теңдеудің жалпы шешімін табамыз. Ол үшін сипаттаушы теңдеуді шешеміз. Осыдан . Енді берілген теңдеудің шешімін

(*)

түрінде іздейміз. Белгісіз және функцияларын табу үшін төмендегі системаны құрамыз.

Системаны Крамер әдісі бойынша шешейік.

, мұнда

және өрнектерін (*) теңдеуіне апарып қойып, берілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз.