ДӘРІС 8-9

Дәріс сабақтың құрылымы:

1 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер

2 Коши есебінің бар және жалғыз болуы туралы теорема

3 Реті төмендетілетін теңдеулердің типтері

Дәріс сабақтың мазмұны:

Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.

Ретін төмендету әдісі.

Кез келген реті бірден жоғары болатын теңдеулерді реті жоғары дифференциалдық теңдеу деп атайды. Ретін төмендету арқылы интегралдауға болатын қайсыбір дифференциалдық теңдеулер түрлерін қарастырамыз.

І..

- рет интегралданған соң жалпы шешімін аламыз

.

1-мысал. теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Біртіндеп интегралдаймыз:

,

берілген теңдеудің жалпы шешімі.

2-мысал. теңдеуінің бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешімін табыңыз.

Шешуі. Берілген теңдеуді біртіндеп үш рет интегралдаймыз:

Дербес шешімді табу үшін ді және , , мәндерін , , өрнектеріне қойып , , бойынша жүйені аламыз:

Бұл жүйені шешсек: , ,

Талап етілген дербес шешімді жазуға болады:

ІІ. Берілген теңдеуде белгісіз функциямен оның алғашқы ретін қоса есептегендегі туындылары болмайды:

алмастыруы теңдеудің ретін төмендетуге мүмкіндік береді. Берілген теңдеуді көшіріп жазсақ:

Бұл теңдеуді шешіп

Енді бұл теңдеуді рет интегралдап -ті анықтауға болады (бұл І түрдегі теңдеу).

3-мысал. Теңдеуді шешіңіз

Шешуі. Бұл теңдеуде белгісіз функциямен оның туындылары жоқ. Сондықтан деп ұйғарамыз, сонда . Ендеше

Бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу

Немесе . Бұл І түрдегі теңдеу. Біртіндеп интегралдаймыз

Сонымен ізделген шешімді мына түрде жазуға болады:

ІІІ. Тәуелсіз айнымалы болмайтын теңдеу

алмастыруын жасап теңдеу ретін бірге төмендетеміз. Мұндағы айнымалы тен тәуелді деп қарастырылады: .

Енді теңдеудегі туындылары арқылы өрнектейміз. Сонда

, ,

т.с.с,;

Бұл өрнектерді берілген ІІІ теңдеуге апарып қойсақ - ретті дифференциалдық теңдеу аламыз:

.

Егер бұл теңдеуді интегралдау мүмкін болса, онда оның жалпы шешімін былай жазуға болады.

немесе

бұл І-ретті квадратурада интегралданатын дифференциалдық теңдеу.

4- мысал. теңдеуін шешміз.

Шешеуі. деп ұйғарамыз. Сонда болады. Демек,

Бұл Бернулли теңдеуі, егер деп алсақ ол сызықтық теңдеу болады.

Жалпы шешімі

Енді -ның орнына қоямыз:

Айнымалыларын бөліп, интегралдаймыз:

Немесе берілген теңдеудің жалпы шешімін мына түрде жазуға болады:

,

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер

2 Реті төмендетілетін теңдеулердің типтері

Қолданылған әдебиеттер:

1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1985

2. Қалиев С.Қ., Искакова М.Т. Дифференциалдық теңдеулер және варияциялық есептеу негіздері, Семей – 2005

3. Филлипов А.Ф. Сборник задач по обыкновенные дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары Алматы: Қазақ университеті, 2002

Date: 2015-11-15; view: 2510; Нарушение авторских прав