ДӘРІС 10-12

Дәріс сабақтың мазмұны:

1.Сызықтық біртектес емес дифференциалдық теңдеулер.

2. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес емес теңдеулер.

3. Тұрақтыны вариациялау әдісі.

. Анықтама бойынша екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі мынадай болады:

(1)

Егер P(x) және Q(x)-тұрақты, ал F(x)=0 болса, онда екінші ретті сызықтық теңдеу тұрақты коэффициентті біртектес теңдеу деп аталады.

Сонымен, тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеу

(2)

түрінде болады.

. және функциялары (2) теңдеудің шешімдері болсын.

Анықтама. Егер кесіндісінен алынған кез келген x үшін теңдігі орындалатындай саны табылса, онда және шешімдері кесіндісінде сызықты тәуелді деп, ал егер осындай саны табылмаса, онда және шешімдері сызықты тәуелсіз деп аталады, яғни қатынасы кесіндісінде тұрақты болмайды.

Теорема1. шешімін С тұрақты санына көбейтсек, ол да осы теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеу. ді (2) теңдеуге қояйық.

, бұдан

, себебі берілген (2) теңдеудің шешімі болғандықтан, , болады. Бұдан дің (2) теңдеудің шешімі болатындығын көрдік.

Теорема2. (2) теңдеудің және шешімдерінің қосындысы да (2) теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеу. қосындысын (2) теңдеуге қояйық:

.

Демек, берілген (2) теңдеудің шешімі болды.

Теорема3. Егер және функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері, ал мен - кез келген тұрақты сандар болса, онда

функциясы да (2) теңдеудің шешімі болады.

Бұл теоремадан сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін оның кез келген екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімі арқылы табуға болатынын көреміз.

Егер ауыстыруын жасау арқылы екі дербес шешімді табуға болады. Бұл жағдайда (2) теңдеу мына түрде болады:

, , болғандықтан,

+ =0 немесе .

болғандықтан,

(3)

болады.

(3) теңдеу сызықтық біртектес теңдеудің характеристикалық (сипаттамалық) теңдеуі деп аталады.

Мынандай жағдайлар болуы мүмкін:

1) (3) теңдеудің түбірлері және әр түрлі нақты сандар: . Сонда , функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері болады да, оның жалпы шешімі

(4)

түрде болады.

2) (3) теңдеудің түбірлері өзара тең нақты сандар: . Бұл жағдайда бір дербес шешімді , ал екіншісін түрінде аламыз. және шешімдері сызықты тәуелсіз, себебі .

Сондықтан 3-теорема бойынша (2) теңдеудің жалпы шешімі

немесе (5)

түрінде болады.

3) (3) теңдеудің түбірлері комплекс сандар болсын: , .

Бұл жағдайда (2) теңдеудің жалпы шешімі

(6)

4) (3) теңдеудің түбірлері таза жорымал сан болсын: , .

Бұл жағдай егер p=0, болғанда ғана орындалады. Сонда (2) теңдеудің жалпы шешімі

(7)

түрде болады.