Некоторые сведения о векторах

Элементы векторной алгебры. Скаляр. Вектор.

Правила сложения векторов. Скалярное и векторное произведение.

Векторами называются величины, характеризующиеся численным значением и направлением. Численное значение вектора называется модулем (модуль дает длину вектора). Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный.

Сложение векторов достигается, если начало второго вектора совместить с концом первого, а затем провести из начала первого в конец второго результирующий вектор.

Разностью двух векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора а на скаляр α получается новый вектор b= αа. Из определения операции умножения вектора на скаляр следует, что всякий вектор а можно представить в виде а= , где - модуль вектора а, - вектор с модулем, равным единице, имеющий такое же направление, как и а. Вектор называется единичным вектором или ортом вектора а.

Проекция вектора. Рассмотрим некоторое направление в пространстве, которое мы зададим осью l. Пусть вектор а образует с осью l угол j. Величина

(а – модуль вектора) называется проекцией вектора а на ось l.

Проекция вектора есть величина алгебраическая. Если вектор образует с данным направлением острый угол, то cosj>0, так что проекция положительна. Если угол j тупой, то cosj<0, и проекция отрицательна. Когда вектор перпендикулярен к данной оси, проекция равна нулю.

Радиус-вектор. Радиусом-вектором r некоторой точки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку (рис.). Его проекции на координатные оси равны декартовым координатам данной точки:

.

Радиус-вектор можно представить в виде

где i, j, k – орты осей.

Тогда

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов а и b называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла α между ними: . Когда α острый а b>0, при α тупом а b<0. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Векторное произведение. Векторным произведением векторов а и b называется вектор с:

а и b – модули перемножаемых векторов, α – угол между векторами, n – единичный вектор нормали