Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Глава 3. Элементы аналитической Геометрии 4 page
Для гиперболы:
Основное свойство директрис: если - рас -стояние до ближайшего фокуса, а - расстояние до соот -ветствующей директрисы , то .
Таким образом, с помощью основного свойства директрис, эллипс и гиперболу можно определить, как множества точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответс- твующей директрисы - величина постоянная, равная эксцент- риситету , причём для эллипса , а для гиперболы . В случае получаем ещё одну линию - параболу.
4. Парабола. Параболой называется геомнтрическое место точек плоскости, равноудадённых от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Введём на плоскости систему координат: ось проходит через фокус перпендикулярно директрисе. Ось перпендику- лярна оси и проходит на одинаковом расстоянии между от фокуса и директрисы. Пусть расстояние от фокуса до ди –ректрисы равно
По определению параболы, расстояние от фокуса до точки равно длине отрезка . Тогда . Возведём в квадрат это равен- ство: . Таким образом, полу- чаем каноническое уравнение параболы: (9) Построим эту линию. Она симметрична относительно оси (так как входит в уравнение в чётной степени).
Точка является вершиной параболы, ось - ось её сим- метрии. Кроме параболы , можем рассмотреть ещё параболы и , которые вы – глядят, соответственно, следующим образом:
Рассмотрим пример. Привести к каноническому виду уравне- ние следующей линии и построить её: Преобразуем это уравнение: Вершина параболы находится в точке . . Построим эту линию.
.
Оптическое свойство параболы: Если источник света рас -положен в фокусе параболы, то отражённый луч распространя- ется по прямой
Мы рассмотрели основные линии второго порядка.
Рассмотрим теперь пример полного преобразования уравне- ния линии 2 – го порядка с помощью параллельного переноса и поворота системы координат.
Привести к каконическому виду уравнение линии. Выпол- нить построение линии: Выполним параллельный перенос системы координат по формулам (2): . Получим: С помощью параллельного переноса мы должны избавиться от линейных слагаемых в уравнении, т.е. приравниваем нулю: Эти равенства должны выполняться для всех , т.е. получаем систему:
Тогда: или Таким образом, перенос системы координат необходимо произвести в точку . При этом получим уравнение: Чтобы избавиться от смешанного произведения , выпол- ним поворот системы координат по формулам (4):
Нам необходимо убрать смешанное произведение, поэтому группируем соответствующие коэффициенты и приравниваем их к нулю: Учитывая тригонометрические формулы, получаем: .
Перепишем уравнение линии, с учётом того, что смешанного произведения в уравнении не осталось: или, и тогда: и, окончательно, Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями . Построим данную линию:
1
1
Рассмотрим ещё примеры: Пример 1. Построить следующую линию: Из уравнения видим, что должно быть выполнено: . Возведём равенство в квадрат: . Тогда Получено уравнение окружности с центром в точке радиуса 4.
С учётом условия , мы получаем нижнюю часть окруж –ности. Пример 2. Построить линию: . Ограничение: Возведём последнее равенство в квадрат . Это урав- нение параболы с вершиной в точке . . Построим линию:
2
-1
Ввиду условия , выбираем правую ветку параболы.
§ 7 ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.
Полярная система координат на плоскости определяется за- данием некоторой точки , называемой полюсом; исходящего из этой точки луча , называемого полярной осью и мас -штабной единицей для измерения длин. Для произвольной точки плоскости координатами в дан- ной системе координат называют полярный радиус , вычисленный в масштабных единицах, и полярный угол между осью и радиус – вектором , т.е. ,
1 Чаще всего предполагают, что или Иногда допускаются отрицательные значения для , но при этом соответствующие значения откладываются на продолжении луча. Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами. Для этого совместим начало декартовой системы координат с полюсом полярной системы координат, а ось - с полярной осью:
Используя тригонометрические формуды легко получаются формулы перехода от декартовых координат к полярным: (1) и формулы обратного перехода от полярных координат к де- картовым: (2) Чаще всего эти формулы используются комбминированно. Окружность в полярной системе координат имеет уравнение , или , тогда дпнная линия имеет вид:
Аналогичным образом, окружность имеет в полярных координатах уравнение и соответству- ющий рисунок линии выглядит следующим образои:
Окружность с центром в начале координат в полярных координатах имеет уравнение или . Если задано уравнение линии в полярных координатах , то чтобы построить данную линию в полярной сис- теме координат, заполняют таблицу значений этой функции в точках, вычисленных для значений аргумента , причём, чем больше , тем точнее будет построение линии. Пример 1. Построить линию: . Заполнить таблицу значений данной функции:
Построим данную линию
При построении линии в полярных координатах можно по -ступать и иначе, а именно, используя свойства соответствую- щих функций. Пример 2. Пусть дано уравнеие . Так как , то максимальное значение данная функция принимает при - ; мини –мальное значение будет в точке - .
Так как чётная функция, то также чётная функция и поэтому соответствующая линия симме- трична отностьельно полярной оси. Таким образом, получаем линию:
|