Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Глава 2. Элементы векторной алгебры§ 1. ВЕКТОР. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ.
Различают понятия величин, которые характеризуются од -ним числом - скалярные величины (например: масса, объём, длина, площадь и т.д.) и величин, для которых имеет значе -ние не только их численное значение, но и направление их действия - векторных величин (например: сила, скорость, ус - корение и т.д.). Вектором называется направленный отрезок , где - начало вектора, - конец вектора. В физике важное значение имеет точка приложения вектора, т.е. начальная точка . Векторы в математике чаще всего не связывают с точкой приложения, поэтому часто геометрический вектор обозначается . Чтобы объяснить это, введём сначала несколько понятий. Длина вектора обозначается или . Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Его длина равна нулю. Считается, что его направление совпадает с направлением любого вектора, и он обозначается . Векторы, лежащие на одной прямой, или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости, или в параллельных плоскостях, называются компланарными. Векторы называются равными, если они коллинеарны, име- ют одинаковую длину и одинаково направлены. Из этого определения следует, что векторы равны, если их можно совместить с помощью параллельного переноса. Равен-ство векторов не зависит от их начальных точек (точек прило- жения); таким образом, начальную точку любого вектора с помощью параллельного переноса можно совместить с любой точкой плоскости или пространства. В этом смысле геометри- ческие векторы называются свободными.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 1. Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора .
Это определение называется правилом треугольника сложе - ния векторов. Другое определение суммы векторов называется правилом параллелограмма: вектор суммы векторов направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , т.е
2. Умножение вектора на число. При умножении вектора на число получаем вектор , коллинеарный данному вектору, длина которого изменяется в раз, причём на- правление вектора сохраняется, если и меняется на противоположное, если . Из сказанного выше следует ещё одно определение кол – линеарности векторов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Вектора называются коллинеар- ными, если существует некоторое действительное число , такое, что . Операции сложения и умножения вектора на число обладают следующими свойствами: 1. (коммутативность сложения); 2. (ассоциативность сложения); 3. 4. 5. 6. . 7. . Вычитание векторов на картинке выглядит следующим обра- зом:
Вектор разности направлен в сторону вектора, из которого вычитается второй вектор.
Дальнейшее изучение векторов связано с понятием систе- мы координат
§ 2 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ, НА ПЛОСКОС- ТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
1. Координата на прямой вводится следующим образом: на прямой стрелкой указывается направление положительного изменения, определяется начало отсчёта - точка О и опре –деляется масштабная единица
1 Координатой произвольной точки называют длину отрезка , вычисленную в масштабных единицах (в данном случае, координата точки равна ), причём, если точка находится правее точки , то знак координаты по- ложительный, а если левее, то отрицательный. Если даны две точки на прямой , то расстояние между ни -ми ищется по формуле: . (1) 2. Декартова (прямоугольная) система координат на пло-скости задаётся двумя взаимно перпендикулярными осями. Точка их пересечения - это начало координат, на каждой оси вводится масштабная единица.
1
О 1
Ось называется осью абсцисс, ось - осью ординат. Координатами произвольной точки в данной системе ко- ординат называются числа , вычис -ленные в масштабных единицах, причём эти координаты будут положительными, если точка расположена правее (выше) соответствующей координатной оси. В данной системе коор –динат: . Расстояние между двумя точками и на плоскости вычисляется по формуле: . (2) 3. В пространстве декартова (прямоугольная) система ко -ординат определяется осями, которые лежат в пересечениях трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в одной точке. Сами эти плоскости называются координатными плоскостями , соответственно. На каждой оси вводится масштабная единица
1 Ось называется осью аппликат. Точка в пространстве имеет три координаты . Расстояние между двумя точками и в пространстве опре- деляется по формуле, которая аналогична соответствующей формуле для плоскости: (3)
4. Чтобы установить связь между векторами и системой ко- ординат, требуется ввести понятие проекции вектора на ось. Пусть дана произвольная ось и некоторый вектор :
Величина направленного отрезка с соответствующим знаком оси называется проекцией вектора на ось и обозначается . Из рисунка видно, что: . Если угол острый, то проекция положительна, если тупой, то проекция отрицательна. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны. Проекции векторов имеют два основных свойства: 1. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.
Из рисунка видим, что . 2. При умножении вектора на число его проекция умно - жается на то же число: . Рассмотрим произвольный вектор и его проекции на оси координат. Вектор однозначно определяется своими проекция -ми на оси координат. (Равные векторы можно совместить параллельным переносом и они имеют одинаковые проекции, и наоборот, векторы с одинаковыми проекциями равны.) Считаем, что вектор имеет проекции на оси координат равные, соответственно, . Причём, если вектор , где , то координа- ты вектора равны, соответственно, Таким образом, чтобы найти координаты вектора (т.е. его проекции на оси координат) необходимо из координат - конечной точки вектора вычесть соответствующие коорди- наты точки - начальной точки вектора.
Вектор называется радиус – вектором точки . Из треугольника : . Тогда из треугольника имеем: В частности, для вектора получаем: , т.е. длина вектора равна расстоянию между точками A и В. Если - угол между вектором и осью , - угол между вектором и осью и - угол между вектором и осью , то , , , то получаем понятия, так называемых направляющих косинусов вектора: ; ; . Основное свойство направляющих косинусов, которое легко проверяется непосредственно: (!) Рассмотрим пример: найти вектор , длина которого , который образует равные острые углы с осями координат. По условию: , поэтому, по свойству (!), . (знак «+», так как углы острые), тогда . Таким образом, вектор имеет координаты:
Рассмотрим задачу о делении отрезка в данном отноше -нии. Пусть даны две точки . Требуется найти координаты точки , которая делит отрезок в отношении , т.е отношение длин отрезков
Рассмотрим случай проекций на ось . (Для остальных осей формулы получаются аналогичным образом).
Так как параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то Тогда Таким образом, , аналогично, ; . В частности, если , т.е. отрезок делится пополам, получаем координаты середины отрезка: ; ; . (+) Таким образом, координаты середины отрезка равны полу -сумме координат концов отрезка. Пример. Найти координаты центра масс треугольника с вершинами:
О
Центр масс треугольника всегда находится в точке пересече -ния медиан, а медиана треугольника делит сторону пополам, тогда, по формулам (+), точка имеет координаты , или . Другое свойство медиан треугольника: медианы в точке пере- сечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины треу –гольника, поэтому точка - центр масс (точка пере -сечения медиан) делит отрезок в отношении: . Тогда Таким образом . Вернёмся снова к линейным операциям над векторами. Пусть даны два вектора . Тогда, учитывая свойства проекции вектора на ось, получаем следующие правила: 1) 2) 3) Из последней формулы, учитывая определение коллинеарнос- ти векторов, получаем следующее условие коллинеарности: . Рассмотрим пример: пусть даны два вектора . Проверить коллинеарность векторов . Найдём координаты векторов: Проверим выполнение условия коллинеарности: Координаты векторов пропорциональны, следовательно векторы коллинеарны, т.е. . В заключение, придадим другой смысл проекциям вектора на координатные оси. С этой целью в заданной системе координат определим тройку векторов следующим образом: 1) векторы лежат на осях , соответст- вено, т.е. взаимно перпендикулярны. Их направления совпада- ют с положительными направлениями соответствующих коор -динатных осей; 2) Единичные взаимно перпендикулярные векторы по другому называются ортами. В системе координат эти векторы имеют следующие координаты: Тогда любой вектор можно записать следу- ющим образом: , т.е. любой вектор прост –ранства можно представить в виде линейной комбинации век- торов . Таким образом, векторы представляет собой естественный базис прямоугольной системы координат в пространстве. ЗАМЕЧАНИЕ. Любые три некомпланарных вектора прост –ранства образуют его базис, т.е. любой другой вектор прост- ранства можно представить в виде линейной комбинации этих векторов.
§ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Нелинейными операциями являются операции умножения векторов.
1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. (1) Так как , , то получаем: = (2) Отсюда получаем формулы для вычисления проекций: ; . (3) Также, учитывая формулу (1), . (4) Скалярное произведение векторов имеет простой механи – ческий смысл: Скалярное произведение равно работе силы по перемещению материальной точки из начала в конец вектора .
Легко доказать следующие свойства скалярного произ –ведения: 1. = (коммутативность); 2. = 3. (дистрибутивность); 4. тогда ; 5. Условие ортогональности векторов: , так как .
Эти свойства позволяют выполнить следующие задания: 1). Пусть ; угол между этими векторами . Найти длину вектора .
По свойству 4, 2). Пусть ; угол между этими векторами . Найти . По формуле (3), . В данных условиях,
Тогда .
Пусть теперь векторы заданы своими координатами: в базисе . При вы- числении скалярного произведения базисных векторов получим: , по свойству 4. Аналогично Так как векторы ортогональны, т.е. попарно перпендику –лярны, то, по свойству 5, Тогда Таким образом, скалярное произведение векторов, заданных координатами, равно сумме произведений соответствующих координат: (5) Тогда векторы ортогональны если
Угол между векторами и можно найти по формуле:
= . (6) Рассмотрим ещё несколько примеров: 1. Даны векторы . При каком значении эти векторы перпендикулярны? . , так как векторы перпендикулярны. Тогда или 2. Треугольник задан своими вершинами: А(2, -1, 3), В(1, 1, 1), С(0, 0, 5). Найти углы треугольника АВС. , тогда по формуле (6), Следовательно . тогда по той же формуле, и угол . Тогда . 3. Проверить, что четырёхугольник с вершинами: является квадратом.
Следовательно, противоположные стороны параллельны и оп- ределяются одинаковыми векторами. Тогда данный четы- рёхугольник является параллелограммом. Найдём длины смеж- ных сторон: . Т.е. все стороны равны. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом. Чтобы доказать, что ромб является квадратом, достаточно доказать перпендикулярность хотя бы двух смежных сторон. Найдём скалярное произведение: Выполнено условие ортогональности векторов и , сле- довательно , и тогда рассматриваемый четы- рёхугольник является квадратом.
2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Векторным произведением вектора на вектор называ- ется вектор, обозначаемый , или , который опреде- ляется тремя условиями: 1) Вектор перпендикулярен векторам и , т.е. : 2) Длина вектора - : 3) Векторы образуют «правую тройку».
Векторы образуют правую тройку, если они имеют общее на- чало и из конца вектора крат - чайший поворот вектора к век – тору виден против часовой стрелки.
Механический смысл векторного произведения: вектор- ное произведение равно моменту силы , при -ложенной к концу вектора относительно начала век -тора .
Свойства векторного произведения. 1. ; Если поменяем местами векторы , то тройка векторов поменяет ориентацию (станет левой) и вектор сменит направление на противополож- ное. 2. Если векторы имеют одно и то же начало, то модуль (длина) векторного произведения численно ра – вен площади параллелограмма, построенного на век – торах (произведение длин сторон на синус угла между ними). Таким образом: площадь параллелограмма , а площадь треугольника 3. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно 0, т.е. . Это ещё одно ус- ловие коллинеарности векторов. (если векторы колли –неарны, т.е. параллельны, то и, по условию 1) определения, вектор имеет нулевую длину). В частности, для любого вектора. 4. (Постоянный множитель можно выносить за скобку). 5. . (Можно раскрывать скобки.) Рассмотрим пример: найти площадь параллелограмма, по -строенного на векторах , которые заданы следующим образом: , если и угол между векторами равен . По свойству 2, . Найдём:
. Тогда
При решении примера мы использовали свойства вектор- ного произведения. По свойству 3, , по свой- ству 1, . Пусть теперь векторы заданы своими координатами: (7) где базисные векторы имеют единичную длину, вза -имно перпендикулярны и образуют правую тройку. Тогда для них выполняются следующие правила векторного умножения:
О
Найдём векторное произведение векторов и , используя эти правила, умножив векторы, заданные формулой (7), как скобку на скобку. Но последнее выражение задаёт разложение по первой строке следующего определителя, т.е. . (8)
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами (1, 1, 1), (2, 3, 4) и (4, 3, 2) и его высоту, опущенную из вершины .
. Найдём векторное произведение: Тогда Высоту треугольника можем найти следующим образом:
3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Для трёх векторов можно ввести смешанное произведение, при котором два вектора перемножаются векторно и получен- ный в результате вектор скалярно умножается на третий век- тор, в результате чего получается число. Смешанное произведение векторов обозначается: Любая циклическая перестановка не меняет смешанное произ- ведение: . Остальные перестановки меняют знак произведения на противоположный.
ТЕОРЕМА. Смешанное произведение векторов равно где - объём параллелепипеда, построенного на векторах . В самом деле, рассмотрим рисунок
Тогда, если учесть, что - площадь параллело- грамма, построенного на векторах , а - высота, построенного параллелепипеда, то Если векторы образуют левую тройку, то вектор направлен в противоположную сторону, угол тупой и , и . Если векторы компла -нарны, то и смешанное произведение равно 0. Условие компланарности векторов: (9) Если векторы не компланарны, т.е. , то они образуют базис, т.е. любой вектор пространства можно представить в виде их линейной комбинации.
Если векторы заданы своими координатами: , то, как в случае скалярного и векторного произведения, можно показать, что: . (10) Учитывая теорему, можно найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , по формуле: , а объём треугольной пирамиды, построенной на тех же векторах: (11) высоту параллелепипеда или пирамиды можно найти по фор- муле: . (12) Рассмотрим примеры: 1. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках и найти её высоту, опущенную на грань . Найдём координаты трёх векторов, выходящих из одной точки, на которых строится пирамида: . Тогда: Таким образом, по формуле (11), объём пирамиды равен: Чтобы найти высоту пирамиды, найдём векторное произве- дение: Отсюда . Тогда, по формуле (12) 2. Проверить, что точки лежат в одной плоскости.
Если данные точки лежат в одной плоскости,
С
то векторы компланарны. Найдём координаты этих векторов: Векторы компланарны, если их смешанное произведение рав- но нулю, т.е. должно быть выполнено равенство: . Найдём это смешанное произведение по формуле (10): Смешанное произведение равно нулю. Следовательно, точки лежат в одной плоскости. 3. Поверить, что векторы образуют базис и найти разложение вектора в этом базисе: Если векторы образуют базис, то их смешанное произведе- ние . В нашем случае: следовательно, векторы образуют базис Тогда представляет собой разложение вектора в этом базисе. Найдём коэффициенты этого разло- жжения, для чего запишем соответствующее векторное равен -ство: . Учитывая правила действий с векторами, получим систему: Решим данную систему линейных уравнений методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и получим нули ниже главной диагонали.
Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй строке и просто прибавим её к третьей строке. Получим:
Умножим третью строку на (3) и прибавим к второй, после че- го разделим вторую строку на (3), а третью на (2) и поменя -ем их местами: . Получили систему: Таким образом: Тогда
§ 4 ПОНЯТИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
Изучая геометрические векторы, мы установили взаимно од- нозначное соответствие между направленными отрезками и упо- рядоченными наборами чисел (координатами векторов). При этом сложение векторов и умножение их на число производит- ся покоординатно. Обобщим вышесказанное следующим обра – зом: упорядоченная совокупность чисел называется - мерным вектором, а числа - его координатами. Набор, состоящий из нулей, называется ну- левым вектором, т.е. . Векторы и равны, если равны их соответствующие координаты, т.е. Сложение векторов также производится покоординатно, т.е. . При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, т.е. . Множество всех - мерных векторов с определёнными вы- ше операциями сложения и умножения на число называется арифметическим векторным - мерным пространством, или координатным - мерным пространством. Нетрудно проверить выполнение следующих равенств:
Вектор является противоположным вектору . Эти свойства справедливы, так как все действия с - мерными векторами сводятся к дейст- виям над действительными числами, а для действительных чисел эти свойства выполняются. Арифметическое - мерное пространство обозначается следующим образом или . Векторы называют базисом пространства , а равенство: называют разложением вектора по базису. В можно определить скалярное произведение:
Длина вектора определяется формулой: ⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒
|