Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Глава 3. Элементы аналитической Геометрии 1 pageПредметом аналитической геометрии является изучение гео- метрических фигур и их свойств при помощи действий с чис -лами и наборами чисел, однозначно определяющих геометри -ческие фигуры.
§ 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. Рассмотрим равенство , где - переменные величины, принимающие различные действительные значения, - некоторое выражение (композиция известных функций) со- держащее . Если равенство выполняется для всех значений , то оно называется тождеством. Если же равенство выплоняется не для всех пара чисел , то оно называется уравнением линии на плоскости. Простейшим уравнением линии на плоскости яв- ляется уравнение прямой.
Из школьного курса известно уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где , . (1)
Если мы знаем угол наклона прямой к оси , т.е. если задан угловой коэффициент этой прямой и задана фиксированная точка на прямой , то, чтобы напи- сать уравнение прямой, удобно воспользоваться формулой: (2) Уравнение (1) получится из уравнения (2), если раскрыть скобки и привести подобные. Например: Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к оси . Угловой коэффициент тогда, по фор- муле (2), прямая имеет уравнение:: , или Рассмотрим произвольную прямую на плоскости. Пусть - фиксированная, а текущая точки дан -ной прямой.
Если заданы векторы , перпендикулярный прямой (нормаль или нормальный вектор), или , парал -лельный данной прямой (направляющий вектор), то, исполь- зуя условия ортогональности и коллинеарности, можем напи -сать уравнения прямой следующим образом: ; следовательно, , или (3) ; следовательно координаты этих векторов пропор- циональны и получаем: . (4) В частности, если на прямой заданы две точки и , то вектор являет- ся направляющим вектором прямой и её уравнение принимает вид: (5) Уравнение прямой по двум заданным точкам.
Пример 1 Написать уравнение прямой, проходящей через точку а) перпендикулярно вектору ; б) парал – лельно вектору , если ; с) написать уравнение прямой, проходящей через точки и . . Тогда в случае а) и, по формуле (3), уравнение имеет вид: или ; в случае б) получим уравнение: , по формуле (4), или ; в случае с), по формуле (5), получаем уравнение: , или , . Таким образом получаем:
Если в равенстве (3) откроем скобки, то получим общее уравнение прямой на плоскости: (6) является нормальным вектором данной прямой. Если известны длины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат,
то уравнение этой прямой можно записать следующим об -разом: (7) § 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ
Пусть заданы уравнения двух прямых на плоскости:
Тогда . Следовательно, угол между прямыми (учитывая смысл угловых коэффициентов прямых) определяется по формуле: (1) Если прямые параллельны, т.е. , то и ; если прямые перпендикулярны, , то не существу- ет, то , или (это условие перпендику- лярности прямых).
Пример 1. Даны две противоположные вершины квадрата: . Найти уравнения сторон квадрата.
Зная координаты точек и можем найти координаты точки , как координаты середины отрезка, (т.е. полусумма координат концов отрезка): . Кроме того можем напи- сать уравнение прямой , как уравнение прямой проходя- щей через две заданные точки (формула (5) § 1): Тогда Угол между прямыми и равен . Следовательно, по формуле (1), . Отсюда, Зная координаты точки и угловой коэффициент (по формуле (2) § 1 ), можем написать уравнение прямой: Прямые и параллельны; тогда . Прямая (при использовании координат точки имеет уравнение: ; учитывая условие перпендикулярности прямых, . Используя то же уравнение, получим: И наконец и тогда:
Пример 2. Пусть даны координаты одной вершины треу -гольника и уравнения высоты и медианы , проведённых из разных вершин. Найти уравнения сторон треугольника.
, . Тогда и сторона имеет уравнение: Пусть . Точка - середина отрезка . Тогда . Точка и её координаты удовлетворяют уравнению: , т.е. Точка и её координаты удовлетворяют уравнению данной прямой: Получаем систему: Решение этой системы: , т.е. Решая систему, получаем Уравнения прямых и можем написать, использовав уравнение прямой, проходя- щей через две заданные точки:
В случае, если прямые на плоскости заданы общими уравнениями, т.е. то угол между ними равен углу между их нормальными векто- рами , т.е. Если Это условие парал- лельности прямых. Если Это ус -ловие перпендикулярности прямых.
§ 3. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Можно усмотреть аналогию между понятиями прямой на плоскости и плоскостью в пространстве. Основой этой анало- гии является известный факт, что через заданную точку плос- кости можно провести единственную прямую, перпендикулярно заданному вектору, а через заданную точку пространства мож- но провести единственную плоскость, перпендикулярную задан- ному вектору. Следует заметить также, что размерность пря – мой равна 1, размерность плоскости - 2, размерность прост -ранства - 3, т.е. прямая в плоскости и плоскость в пространс- тве имеют одинаковую коразмерность. Линейное пространство размерности на единицу меньшей, чем размерность пространс- тва, частью которого оно является, называется гиперплоскос -тью. В соответствии с этим определением, прямая - это ги -перплоскость на плоскости, а плоскость - это гиперплоскость в пространстве. Пусть плоскость проходит через точку фиксированную точку пространства перпендикулярно вектору Пусть - произвольная (текущая) точка данной плоскости.
Тогда уравнение плоскости получаем, используя условие ортогональности (перпендикулярности) вектора и вектора , т.е. Таким образом, (1) Если в данном равенстве раскроем скобки, то получим общееуравнение плоскости: (2) где Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где . В данном случае Фиксированная точка - это точка и уравнение плоскости принимает вид: или Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости необ – ходимо знать какую– нибудь точку на плоскости и вектор, пер- пендикулярный плоскости. Часто встречается следующая задача: написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть заданы три фиксированные точки плоскости: , а - текущая точка плоскости. Тогда векторы и компланарны.
Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю: , или (3) Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле (аналогичной формуле расстояния от точки до прямой на плоскости): (4)
Пример 2. Дана треугольная пирамида с вершинами . Написать уравнение плоскости и найти высоту, опущен- ную на эту плоскость из точки По формуле (3) уравнение плоскости имеет вид: тогда Получаем: т.е. плоскость имеет уравнение: Высоту пира -миды, опущенную из точки можно найти как расстояние от этой точки до плоскости , по формуле (4). Используя условие компланарности векторов, можно анало -гичным образом написать уравнение плоскости, проходящей че- рез фиксированную точку пространства парал -лельно двум заданным векторам: , . В этом случае: векторы компланарны и их смешанное произведение равно нулю: т.е. (5) Пример 3. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно плоскостям:
.
, тогда, по формуле (5), уравнение плос -кости имеет вид: Получаем: , или, окончательно, получаем уравнение плоскости Пусть даны две плоскости Угол между плоскостями равен углу между их нормаль – ными векторами: (6) Условие параллельности плоскостей: (7) Условие перпендикулярности плоскостей: . (8) Если , то уравнения задают одну и ту же плоскомть. Пример 4. Найти угол между плоскостями и . Тогда, по формуле (6),
|