Глава 3. Элементы аналитической Геометрии 5 page

Эту линию называют кардиоидой, имея ввиду её форму.

Пример 3. Построить линию .

Достаточно построить данную линию на промежутке , так как период данной функции равен . Учитывая, что в промежутке , следовательно . После этого, учитывая периодичность функции, можно построить ещё две части этой линии, которые получаются при .

В заключение параграфа напишем уравнение эллипса, ги - перболы и параболы в полярных координатах.

Пусть - дуга эллипса, гиперболы или параболы:

Совместим фокус с полюсом, а ось симметрии - с по- лярной осью. Точка выбрана так, что . По свойству директрисы: . Пусть , или . Для точки имеем . Тогда, . Обозначив , получим . Сле- довательно, , отсюда: , или . Окончательно получаем уравнение:

. (3)

При - это уравнение эллипса; при - это уравнение одной ветки гиперболы; при - это урав – нение параболы.

Пример 4. Построить линию и записать её уравнение в декартовой системе координат.

Можно произвести построение данной линии непосред- ственно в полярной системе координат, как в примере 1. Но в данном случае, учитывая формулу (3), это уравне -ние эллипса с . Поэтому более удобно сначала перейти к декартовым координатам и только после этого построить линию (менее трудоёмкий вариант решения). Преобразуем уравнение линии: . Исполь –зуя формулы (1) и (2), получаем:

(4) обе части полученного равенства возведём в квадрат:

Получено каноническое кравнение эллипса:

Его центр симметрии , полуоси

Построим данную линию:

4 5

Уравнение вида такжа определяет линию 2 – го порядка, но в этом случае сдвиг точки происходит вле- во, а уравнение приводит к смещению линии по оси .

§ 8 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Date: 2015-12-10; view: 359; Нарушение авторских прав