Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Утверждение. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице, полученной в результате эквивалентных преобразований после получения нулей ниже главной ди- агонали матрицыПримеры. Найти ранги следующих матриц: 1. ˜ Получим нули в первом столбце. Для этого умножим первую строку на (-1) и прибавим к второй строке; умножим ту же строку на (-5) и прибавим к третьей строке и, аналогично, ум- ножим её на (-7) и прибавим к четвёртой строке. Получим: ˜ ˜ Умножим вторую строку на (-2) и прибавим соответственно к третьей и четвёртой ˜ ˜ . Следовательно ранг этой матрицы . 2. ˜ С помощью первой строки получим нули в первом столбце. Для этого умножим её на (-2) и прибавим к второй строке, умножим на (-3) и прибавим к третьей и пятой строке, умно- жим на (-1) и прибавим к четвёртой строке. В результате получим: ˜ ˜ Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей, чет -вёртую строку умножим на (-4) и прибавим к пятой: ˜ ˜ Пятую строку умножим на (5) и прибавим к второй и умножим на (2) и прибавим к четвёртой: ˜ ˜ четвёртую строку умножим на (-3) и прибавим к второй: ˜ ˜ . Ранг этой матрицы тоже равен .
При исследовании систем важную ролю играет следующая теорема:
ТЕОРЕМА (Кронекера – Капелли). Ранг основной матрицы системы не превосходит ранга расширенной матрицы, т.е. , причём, если , то система совместна, а если , то система несовместна (не имеет решений. Рассмотрим пример. Тогда ˜ Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй и треть- ей строке; после этого поменяем местами первую и вторую строки: ˜ ˜ ˜ прибавим к второй, а после этого прибавим к третьей: ˜ ˜ После этого прибавим вторую строку к третьей и получим матрицу: ˜ . В результате получили матрицу, у которой , следовательно, система несовместна. Решений нет.
Если , т.е, если система совместна, то в случае, если - число неизвестных, система имеет единственное решение. Если же , то система имеет бесконечно много решений, при этом число свободных переменных (т.е. переменных, через которые можно выразить все остальные и которые могут принимать любые значения из множества действительных чисел) , а число ба -зисных переменных (т.е. таких переменных, которые выражаем через свободные) равно . Рассмотрим примеры: решить системы уравнений методом Гаусса; найти общие и частные решения; сделать проверку.
1.
Запишем расширенную матрицу данной системы:
˜
Уменьшим элементы первого столбца с помощью четвёртой строки. Для этого умножим её на (-1) и прибавим к первой и второй строке; умножим на (-4) и прибавим к третьей строке и, наконец, умножим на (-3) и прибавим к пятой строке.
˜ ˜
Теперь получим нули в первом столбце. Умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей и пятой строке; умножим её же на (-2) и прибавим к четвёртой строке. Получим:
˜ ˜
С помощью второй строки получим нули во втором столбце. Для этого умножим её на (7) и прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и прибавим к четвёртой строке; умножим на (5) и прибавим к пятой строке:
˜ ˜
Четвёртую строку умножим на (2) и прибавим к третьей строке и её же просто прибавим к пятой строке:
˜ . Видим, что в данном случае , поэтому система совместна, но так как переменных 4, а ранг матрицы равен 3, то одна переменная свободная, а три базисных. За – пишем полученную систему: Выберем свободную переменную , тогда из третьего уравнения ; из второго уравнения из первого уравнения
Таким образом, общее решение системы имеет вид:
, т.е. при любом значении мы будем получать решения сис -темы. Это общее решение Задавая какие – либо значения по -стоянной , будем получать частные решения. Например, при получаем частное решение Сделаем проверку: Получили тождественные равенства. Аналогично можно полу- чать другие частные решения и делать проверку. Например, при : . Подставив эти значения в уравнения системы, снова получим тождес -твенные равенства. Таким же образом, при разных значениях можем получить любое частное решение системы. Ещё одна система:
2. Её расширенная матрица имеет вид: ˜ Поменяем местами первую и вторую строки: ˜ ˜ С помощью первой строки получим нули в первом столбце. Для этого умножим её на (-3) и прибавим к второй строке; умножим на (-4) и прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и прибавим к четвёртой строке, получим: ˜ ˜ Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей и чет –вёртой, получим ˜ . Видим, что ранг полученной матрицы равен . Поэтому система совместна. Число базисных переменных рав- но рангу матрицы, т.е. две базисные переменные Число сво -бодных переменных равно разнице «число переменных» = 5 минус «ранг матрицы» = 2, т.е 3 свободные переменные. Запишем полученную систему: В качестве базисных переменных, если есть возможность, удобно выбрать переменные с единичными коэффициентами, чтобы избежать вычислений с дробными выражениями. Напри- мер, в данном примере, в качестве базисных можем выбрать , а остальные считать свободными, т.е. положим: Тогда из второго уравнения: , а из первого уравнения: . Следовательно, общее решение имеет вид:
Запишем частное решение и сделаем проверку. Например, при получим:
Сделаем проверку:
Получили тождественное равенство. Аналогичным образом можно получить любое другое частное решение, например, при получим: Подставив эти значения переменных в уравнения системы, также получим верные равенства.
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Отдельно следует выделить множество однородных уравнений, т.е. уравнений вида: Такие системы всегда совместны, так как всегда имеется тривиальное (т.е. нулевое решение ). Нулевое решение будет единственным, если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных, т.е. в случае . Если же , то система имеет бесконечно много решений. Рассмотрим примеры: найти фундаментальные системы ре -шений однородных систем линейных уравнений 1. Для однородных систем нет смысла писать расширенную мат- рицу, так как элементарные преобразования не меняют нули, стоящие в правых частях системы уравнений. Поэтому про -изводим преобразования основной матрицы системы: ˜ Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к первой и тре -тьей строке, получим: ˜ ˜ С помощью первой строки получим нули в первом столбце, для чего умножим её на (3) и прибавим к второй строке и просто прибавим к третьей строке: ˜ ˜ Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей: ˜ . Итак, , т.е в решении данной системы 2 базисные переменные и две свободные. Запишем полученную систему:
Из второго уравнения: , чтобы упростить вычисле –ния, удобно положить , тогда . Тогда пер -вое уравнение принимает вид: . Необходимо ввести ещё одну свободную переменную, напри – мер . Тогда . В этом случае, общее решение имеет вид:
. Каждый из векторов: и является решением системы. В самом деле, для вектора : для вектора : и любая комбинация этих решений также является решением системы, т.е. общее решение исходной однородной системы имеет вид: , а сами векторы об- разуют фундаментальную систему решений данной однород- ной системы линейных уравнений.
2. Запишем её матрицу: ˜ Умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строке: ˜ ˜ Вторую строку прибавим к третьей: ˜ ˜ Поменяем местами третью и четвёртую строки: ˜ . Все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Поэтому . Неизвестных 6. Поэтому решение системы имеет 4 базисных переменных и 2 свободные. Запишем полученную систему: Выберем в качестве свободных переменных Тогда из четвёртого уравнения так как из тре -тьего уравнения , то Из второго уравнения Из первого уравнения: Тогда общее решение имеет вид: Векторы образуют фундаментальную систему реше-ний. Проверьте самостоятельно, что каждый из этих векторов является решением системы. , т.е. произвольные постоянные.
|