Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Цилиндрические поверхности
Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой l, называется цилиндрической поверхностью. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости. Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение: F(x,y)=0, (4) Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей L. Покажем, что уравнение этой поверхности есть уравнение (4), если его отнести к системе координат в пространстве Oxyz. Пусть М (х; у; z) -любая фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности. Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, проходящей через точку М. Точка N, очевидно, есть проекция точки М на плоскость Оху. Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абсциссу х и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (4) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки М (х; у; z), так как оно не содержит z. Таким образом, координаты любой точки М (х; у;z) данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (4). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (4) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость Оху вне кривой L. Таким образом, не содержащее z уравнение F(x, y) = 0, если его отнести к системе координат в пространстве Oxyz, является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей L, которая в плоскости Оху задается тем же уравнением F (х, у) = 0. В пространстве Оху направляющая L определяется системой двух уравнений: (5)
Рис.1.
Алогично можно показать, что уравнение F (x, z) = 0, не содержащее у, и уравнение F (у, z) = 0, не содержащее х, определяют в пространстве Oxyz цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Оу и Ох. Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей. 1. Поверхность, определяемая уравнением . (6) является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 2). Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей является эллипс с полуосями а и Ь, лежащий в плоскости Оху. В частности, если a = b, то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение х2 + у2 = а2. 2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением . (7) называется гиперболическим цилиндром (рис. 3). Образующие этой поверхности параллельны оси Оу, а направляющей служит расположенная в плоскости Охz гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b.
Рис.2 Рис.3 Рис.4. 3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением = 2pz, (8) Называется параболическим цилиндром (рис.4). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости Oyz, а образующие параллельны оси Ох. Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой. Например, окружность С, получающаяся в сечении плоскостью z = 3 сферы = 25, может быть задана системой уравнений (9) С другой стороны, эта окружность может быть получена как линия пересечения плоскости z = 3 и прямого кругового цилиндра . В дальнейшем, исследуя форму той или иной поверхности с помощью сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не разбудем пользоваться цилиндрическими поверхностями, проектирующими эти сечения на координатные плоскости. Это позволит так же, как в рассмотренном примере, судить о размерах и форме указанных сечений, а тем самым и о форме исследуемых поверхностей.
|