Перепишемо в іншій формі

.

Тут теж кожна з різниць в дужках додатна, тому коли відкинути всі від’ємники, то отримаємо нерівність

.

Оскільки послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, то вона має границю, тобто існує

,

Крім того .

Покажемо, що і непарні суми мають ту ж границю:

Отже ряд збігаються і при цьому .

Виділимо в ряді (1) часткову суму , а решту ряду назвемо залишком, позначимо

Таким чином,

. (2)

Залишок теж є збіжним рядом, тому згідно доведеної теореми

Із формули (2) отримуємо

Отже, абсолютна похибка при наближенні суми знакопереміжного ряду частковою сумою не перевищує першого члена , з тих, що відкидаються в ряді (1), коли ряд замінюємо сумою .

Приклад. Довести збіжність ряду

,

а також обчислити його суму з точністю до 0,1.

Розв’язок. Поскільки , то ряд збіжний. Далі, за умовою , а це буде виконуватися при , тобто . Значить

.