Відповіді: 1. 2. 3

4.. 5.. 6.. 7..

8..

Ряд Маклорена

Нехай функція нескінченно раз неперервно диференційовна. Припустимо, що її можна представити у вигляді степеневого ряду

(1)

Поклавши в (1) , знайдемо

.

Щоб знайти , продиференціюємо почленно ряд (1). Це можна зробити, бо в області збіжності степеневі ряди можна диференціювати. Отримаємо

(2)

При .

Аналогічно знайдемо інші коефіцієнти

(3)

При і т.д.

.

Підставляючи значення коефіцієнтів в (1) отримаємо ряд Маклорена

(4)

Умова збіжності ряду Маклорена до функції , яка його породжує, дається теоремою.

Теорема. Якщо функція і всі її похідні обмежені на деякому інтервалі одним і тим же числом , тобто

то ряд Маклорена абсолютно збіжний в цьому інтервалі.

Розглянемо розвинення деяких функцій в степеневі ряди.

Знаходимо

……………………………

……………………………