Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) ІІ-го порядку. Теорема про структуру розв’язку

Лінійне неоднорідне д. р. ІІ-го порядку має вигляд

, (1)

де f(x) – відома неперервна на деякому інтервалі функція (вільний член). Розглянемо окремий випадок, коли p і q – сталі. Нехай відповідне однорідне рівняння

(2)

має загальний розв’язок , який знаходиться за однією з формул (3) - (5) попереднього параграфа. Нехай, далі, - деякий частинний розв’язок ЛНДР (1). В подальшому будемо опиратись на таку теорему (подаємо без доведення).

Теорема (про структуру загального розв’язку ЛНДР). Загальний розв’язок лінійного неоднорідного д. р. (1) () дорівнює сумі загального розв’язку () відповідного однорідного д. р. (2) і частинного розв’язку () початкового неоднорідного д. р. (1), тобто

, (3)

Далі зупинимось на двох випадках розв’язання ЛНДР, коли вільний член має спеціальний вигляд:

1) , де - заданий многочлен, - відоме число;

2) , де - задані.

12. Розв’язання ЛНДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами і вільним членом .