Практична робота № 5. Тема: Обчислення похідної за напрямом та градієнта функції багатьох змінних

Тема: Обчислення похідної за напрямом та градієнта функції багатьох змінних.

Мета: Навчитися на практиці застосовувати набуті знання.

Теоретичні відомості:

Якщо кожній точці множини -вимірного простору за деяким законом поставлено у відповідність одне і тільки одне дійсне число , то говорять, що в області задано функцію незалежних змінних

,

де – область визначення функції, – область значень функції.

Зокрема, коли , маємо функцію двох змінних , якщо кожній парі на площині поставлено у відповідність одне і тільки одне число .

Позначимо частинні прирости функції :

, .

Якщо існують скінченні границі

то їх називають частинними похідними функції у точці відповідно за змінними та .

Позначення: або .

Правило знаходження частинних похідних першого порядку:

Для обчислення частинних похідних користуються відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи всі змінні, крім змінної, за якою диференціюємо, сталими.

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції

Розв’язання.

З обмежень логарифмічної функції знаходимо область визначення функції. Функція визначена в області . Вважаючи, що стале, знаходимо

Вважаючи, що стале, знаходимо

Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді

де ; – нескінченно малі при

Повним диференціалом першого порядку функції в точці називається головна лінійна відносно та частина повного приросту функції:

Так як та – незалежні змінні, то , .

Теорема. Якщо функція диференційована в точці і , то в точці існують частинні похідні, причому

Отже повний диференціал функції обчислюється за формулою

Приклад 2 Задана функція і точки .

1) Обчислити значення

2) Обчислити наближене значення за допомогою повного диференціала;

3) Знайти відносну похибку (у відсотках) при заміні приросту диференціалом;

4) Написати рівняння дотичної площини до поверхні в точці

Розв’язання.

1) Обчислимо значення

2) Обчислимо наближене значення за допомогою повного диференціала. Нехай

Підставимо знайдені значення у формулу (1):

3) Знайдемо відносну похибку при заміні приросту диференціалом .

4) Знайдемо рівняння дотичної площини до поверхні в точці За попередніми обчисленнями Тоді рівняння дотичної площини має вигляд

Нехай функція визначена в деякому околі точки , – вектор з початком у точці , – точка околу, що лежить на векторі ; – довжина відрізка Якщо існує

то ця границя називається похідною функції за напрямом вектора у точці , тобто

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом .

Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

(2)

де

Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції в точці , називають градієнтом функції в цій точці і позначають :

Вектор градієнта вказує напрямок найшвидшого зростання функції.

Завдання:

Таблиця вибору варіантів:

Завдання до виконання:

1.Обчислити похідну за напрямом вектора М₁М₂ та градієнт в точці М_1, якщо М₁(а;в), а М₂(в;-с)

1.

2

3.

2.Обчислити похідну за напрямом градієнта в точці М(с;-а)

Контрольні запитання:

1. Як знайти частинні похідні першого порядку?

2. Що таке похідна за напрямом?

3. Формула для знаходження градієнта.

4. Що характеризують градієнт та похідну за напрямом?