Практична робота № 14

Тема: Застосування повного диференціала до наближених обчислень.

Мета: Навчитись обчислювати наближені значення функції, використовуючи повний диференціал.

Теоретичні відомості:

Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді

де ; – нескінченно малі при

Повним диференціалом першого порядку функції в точці називається головна лінійна відносно та частина повного приросту функції:

Так як та – незалежні змінні, то , .

Теорема. Якщо функція диференційована в точці і , то в точці існують частинні похідні, причому

Отже повний диференціал функції обчислюється за формулою

При досить малих та для диференційованої функції в точці має місце наближена формула , звідки

Приклади розв’язання завдань:

Приклад.

Задана функція і точки .

5) Обчислити значення

6) Обчислити наближене значення за допомогою повного диференціала;

7) Знайти відносну похибку (у відсотках) при заміні приросту диференціалом;

Розв’язання.

1) Обчислимо значення

2) Обчислимо наближене значення за допомогою повного диференціала. Нехай

Підставимо знайдені значення у формулу (1):

3) Знайдемо відносну похибку при заміні приросту диференціалом .

Завдання до виконання:

Задана функція і точки А(x;y) i .

1) Обчислити значення

2) Обчислити наближене значення за допомогою повного диференціала;

3) Знайти відносну похибку (у відсотках) при заміні приросту диференціалом;

Вказівка: т. А – добирати самостійно, виходячи з умови

1. , В(0,98;5,02)

2. , В(1,92;-2,38)

3. , В(2,32;-5,003)

4. , В(4,08;-1,93)

5. , В(3,99;8,02)

6. , В(-3,87;4,02)

7. , В(1,96;5,004)

8. , В(2,02;8,009)

9. , В(6,99;2,23)

10. ,В(2,96;7,02)

Контрольні запитання:

1. Дати означення функції багатьох змінних.

2. Дати означення повного диференціала.

3. Записати формулу для обчислення повного диференціала.