Теоретичні відомості. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел

що містить рядків та стовпців.

Якщо , то матриця називається квадратною, а число , що дорівнює , – її порядком. Числа , що утворюють матрицю, називаються її елементами.

У запису перший індекс означає номер рядка, а другий індекс – номер стовпця.

Добутком матриці розмірів і матриці розмірів називається матриця розмірів , елемент , якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів -го рядка матриці та елементів -го стовпця матриці , тобто

Вирази

називаються відповідно визначниками (детермінантами) другого і третього порядків.

Алгебраїчним доповненням елемента визначника -го порядку називається визначник -го порядку, утворений з даного викреслюванням -го рядка та -го стовпця і помножений на

Матриця називається оберненою до матриці , якщо

де – одинична матриця -го порядку.

Наприклад

Якщо , то обернена матриця існує і має вигляд

(1)

де – алгебраїчне доповнення елемента матриці .

Мінором -го порядку матриці розмірів називається визначник -го порядку, утворений з елементів матриці , що залишились після викреслювання в ній рядків і стовпців .

Рангом матриці називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Крім безпосереднього обчислення мінорів, ранг матриці можна знайти простішим методом, який ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над нею виконувати елементарні перетворення:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. Якщо ж система не має жодного розв’язку, то вона називається несумісною.