Замечание

1. Из вышеизложенного следует, что производная непрерывного отображения

f: A F в точке A (если она существует) является элементом банахова

пространства LE; F непрерывных линейных отображений E F, а не эле-

ментом пространства F. Основная идея дифференциального исчисления как раз

и связана с локальной аппроксимацией функций линейными функциями. Таким

образом, и в классическом анализе производная функции в точке — это не число

("тангенс угла наклона касательной"), а соответствующая линейная функция.

Другое дело, что в теории вещественных функций вещественного переменного

между линейными функциями и числами существует взаимно однозначное со-

ответствие. Введенное выше общее определение производной совершенно про-

ясняет ситуацию.

2. Опять же из вышеизложенного следует, что понятие производной можно счи-

тать введенным для любых нормированных пространств — не обязательно ба-

наховых. Это замечание мы будем использовать в последующих примерах.

3. Производная . Является линейным отображением вида

. Выражение f’ h (это элемент пространства F), где h E, называется дифференциалом (дифференциалом Фреше) отображения f в точке ..

Легко видеть, что производная непрерывного линейного отображения (оператора)

u: E F существует для любой точки x E, и при этом Dux=ux. Действительно, в силу линейности u

u

Если отображение f: A F дифференцируемо в любой точке открытого множества A, то оно называется дифференцируемым в A.

Отображение вида A LE; F обозначается символом f’ или Df и называется производной отображения f в A. Ранее мы ввели понятие про-

изводной в точке с аналогичными обозначениями.

Если отображение Df непрерывно, то f называется непрерывно-дифференцируемым в A.

Date: 2015-10-18; view: 373; Нарушение авторских прав