Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
I. Показательные уравнения
|
|
Простейшее показательное (неизвестная величина находится в показателе) имеет вид ax = b, где a > 0, a ≠ 1.
Если b ≤ 0, то уравнение решений не имеет.
Если b > 0, то уравнение имеет единственное решение 
.
Уравнение af(x) = ag(x), где a > 0, a ≠ 1, равносильно уравнению f(x) = g(x).
При решении более сложных показательных уравнений применяются как традиционные методы: разложение на множители, замена переменной (в том числе для сведения уравнения к квадратному), так и логарифмирование обеих частей по нужному основанию.
Пример 1. Решить уравнение: 
.
; так как основания выражений в правой и в левой частях одинаковы, то для выполнения равенства, необходимо равенство показателей степени, то есть x = 3.
Ответ: 3.
Пример 2. Решить уравнение: 
.
Данное уравнение не имеет решений, так как область значений любой показательной функции 
, то есть не может принимать отрицательных значений.
Ответ: Æ.
Пример 3. Решить уравнение: 
.
После несложных преобразований данное уравнение принимает вид однородного уравнения второй степени: 
, которое после деления обеих частей на 
принимает вид: 
.
Заметим, что деление на корректно, так как при любом xÎ R 5 x > 0 (по свойству показательной функции).
Далее, вводим новую переменную 
и получаем квадратное уравнение:
Þ 
После обратной замены получаем 
Þ 
Ответ: 
.
II. Показательные неравенства.
При решении показательных неравенств необходимо учитывать характер монотонности показательной функции в зависимости от основания.
Простейшее показательное неравенство af(x) ≤ ag(x) при a > 1 равносильно неравенству f(x) ≤ g(x), а при 0 < a < 1 неравенству f(x) ≥ g(x).
Пример 1. Решить неравенство: 
.
Данное неравенство не имеет решений, так как показательная функция при любом x принимает только положительные значения.
Ответ: Æ.
Пример 2. Решить неравенство: 
.
Данное неравенство всегда верно, так как показательная функция при любом x принимает только положительные значения.
Ответ: (– ∞; + ∞).
Пример 3. Решить неравенство: 
.
, функция 2 x – возрастающая, так как 2 > 1;
x > – 6.
Ответ: (– 6; + ∞).
Пример 4. Решить неравенство: 
.
, функция 
– убывающая, так как 
;
x ≤ 6.
Ответ: (– ∞; 6].
III. Логарифмические уравнения.
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид 
, где a > 0, a ≠ 1.
Оно имеет единственное решение x = ab.
Уравнение вида 
, где a > 0, a ≠ 1 равносильно системе
Таким образом, логарифмические уравнения можно решать, находя ОДЗ с целью отбрасывания возможных посторонних корней, или выполняя ПРОВЕРКУ, подставляя найденные корни в исходное уравнение.
Пример 1. Решить уравнение: 
.
2 x – 1 = 52, 2 x - 1 = 25, x = 13.
В данном примере находить ОДЗ или делать проверку необязательно, так как требование 2 x – 1 > 0 выполняется автоматически.
Ответ: 2,5.
Пример 2. Решить уравнение: 
.
ОДЗ уравнения: x > 0.Данное уравнение с помощью замены 
приводится к квадратному уравнению: 
, корни которого t 1 = 1 и t 2 = 2.
Делаем обратную замену и решаем совокупность простейших логарифмических уравнений:
 или
x = 10
|  ;
x = 100
|
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 10;100.
IV. Логарифмические неравенства.
При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать характер монотонности соответствующей функции в зависимости от её основания (функция убывает при 0 < a < 1, возрастает при a > 1).
Неравенство 
равносильно системе неравенств:
при a > 1 
при 0 < a < 1.
Обобщая, получим: неравенство 
равносильно совокупности систем неравенств:
или 
Пример. Решить неравенство: 
.
.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
|
       
 
|
.
Ответ: 
(ответ можно записать в виде ).
|
1 уровень
233. Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
; и) 
.
234. Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) ; д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
; и) 
.
235. Решите неравенства:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
236. Решите неравенства:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
237. Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
238. Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
239. Решите неравенства:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
240. Решите неравенства:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
2 уровень
241. Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
; л) 
242. Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
; л) 
243. Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
244. Решите уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
245. Решите неравенства:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
; л) 
246. Решите неравенства:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
; л) 
247. Решите уравнения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
.
248. Решите уравнения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
.
249. Решите неравенства:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
.
250. Решите неравенства:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
.
3 уровень
251. Решите уравнения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
;
л) 
; м) 
;
н) 
; о) 
.
252. Решите уравнения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
;
л) 
; м) 
;
н) 
; о) 
.
253. Решите системы уравнений:
а) 
; б) 
.
254. Решите системы уравнений:
а) 
; б) 
.
255. Решите неравенства:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
;
л) 
; м) 
256. Решите неравенства:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
;
л) 
; м) 
257. Решите систему неравенств: 
.
258. Решите систему неравенств: 
259. Решите уравнения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
260. Решите уравнения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
261. Решите неравенства:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
262. Решите неравенства:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
263. Решите системы уравнений и неравенств:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
264. Решите системы уравнений и неравенств:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Date: 2015-10-18; view: 853; Нарушение авторских прав