I. Понятие логарифма. Натуральный и десятичный логарифмы

Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию a называется показатель степени, в который надо возвести число a, чтобы получить b.

Из определения непосредственно следует равенство , называемое основным логарифмическим тождеством.

Примеры: , так как ; ; не определен, так как ; ; не определен, так как не выполнено условие .

Для удобства, ввиду частого использования, логарифмы по основанию 10 назвали десятичными логарифмами, а логарифмы по основанию е - натуральными логарифмами и ввели следующие обозначения: ; .

Примеры: , так как ; , так как ;

, так как .

II. Свойства логарифмов и основные формулы

Свойства логарифмов.

① ; ② ;

③ ; ④ ;

⑤ ; ⑥ .

Основные формулы (соотношения):

① ;

② ;

⑤ Формула перехода к новому основанию:

; в частности, ;

Дополнительные формулы:

⑥ ;

⑦

Пример 1.

;

Пример 2.

;

Пример 3.

;

Пример 4.

;

Пример 5.

.

1 уровень

179. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

180. Вычислите:

а) б) ; в) ; г) .

181. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

182. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

183. Выясните, при каких значениях x существует логарифм:

а) ; б) ; в) .

184. Выясните, при каких значениях x существует логарифм:

а) ; б) ; в) .

185. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

186. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

187. Вычислите:

а) ; б) .

188. Вычислите:

а) ; б) .

2 уровень

189. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

190. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

191. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

192. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

193. Выясните, при каких значениях x существует логарифм:

а) ; б) ; в) .

194. Выясните, при каких значениях x существует логарифм:

а) ; б) ; в) .

195. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

196. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

197. Вычислите:

а) ; б)

198. Вычислите:

а) ; б) .

3 уровень

199. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

200. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

201. Вычислите:

а) ; б) .

202. Вычислите:

а) ; б) .

203. Выясните, при каких значениях x существует логарифм:

а) ; б) ; в) .

204. Выясните, при каких значениях x существует логарифм:

а) ; б) ; в) .

205. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

206. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

207. Вычислите:

а) ; б) .

208. Вычислите:

а) ; б) .

209. Вычислите:

а) , если ;

б) , если .

210. Вычислите:

а) , если ;

б) , если .