III. Множество рациональных чисел Q

Q = , то есть это множество всех дробей вида , где m - целое, n - натуральное.

Очевидно, что множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех арифметических операций, кроме деления на нуль.

Для рациональных чисел справедливо следующее утверждение.

Всякое рациональное число можно представить (записать) в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное утверждение.

Примеры: - конечная десятичная дробь; ; – бесконечная периодическая дробь; .

Множество рациональных чисел обладает замечательным свойством: оно всюду плотно, то есть между любыми двумя рациональными числами существует бесконечно много рациональных чисел. Поразительно, что, несмотря на это, если на числовой оси поставить все рациональные числа (допустим, что это возможно), то на числовой оси останется еще много свободных мест. И эти места занимают другие числа – иррациональные. (В середине I тысячелетия до нашей эры, предположительно, в школе Пифагора была открыта несоизмеримость отрезков: невозможно выразить рациональным числом диагональ квадрата со стороной, равной единице (это будет бесконечная непериодическая дробь ) Это открытие стало причиной первого кризиса в математике, который был вскоре преодолен).

IV. Множество иррациональных чисел J(J = дополнение к множеству рациональных чисел Q).