Разложение в степенной ряд показательной функции

Основные св-ва логарифмической ф-ции:

1⁰. Обл. определения – множество R₊ положительных чисел. (0; +∞)

2⁰. Обл. значений – мн-во всех действительных чисел.(-∞; +∞)

3⁰. При a>1ф-ция возрастает на всей обл. определения; при 0<a<1 ф-ция убывает.

Док-во:

Рассмотрим, a>1 - ф-ция возрастает. Пусть х₁ и х₂ – произвольные положительные числа и х₁ < х₂. Надо доказать, что Предположим противное, что (*) Т.к. показательная ф-ция у=а^х возрастает при a>1, то из неравенства (*) → (**), но по опр. логарифма т.е. неравенство (**) означает, что х₁ ≥ х₂, а это противоречит предположению. Аналогично для убывающей.

4⁰. График лог. ф-ции проходит ч/з точку (1; 0).

у= , a>1 у= , 0<a<1

5⁰. Знакопостоянство: если a>1, то у>0, х (1; +∞) и у<0, x (0; 1);

если 0<a<1, то у>0, х (0; 1) и у<0, x (1; +∞).

6⁰. Логарифмическая ф-ция у= и показательная ф-ция у=а^х, где a>0,a≠1, взаимно обратны. Их графики, имеющие одинаковое основание, симметричны относительно прямой у=х.

Основные св-ва логарифмов:

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰.

Док-во: (логарифм произведения равен сумме логарифмов)

Воспользуемся основным лог. тождеством: . Перемножая почленно эти равенства, получаем: следовательно, по опр. логарифма

5⁰.

6⁰. - формула перехода от одного основания к другому

7⁰. (b>0, a>0, a≠1)- основное лог. тождество.

Логарифмическая ф-ция непрерывна и является дифференцируемой, т.е. её можно разложить в степенной ряд. Т.к. ф-ция непрерывна в точке х=0 и её произведения в этой точке не существует, то рассмотрим ф-цию . Рассмотрим ряд Тейлора: , это частный случай, когда х₀=0 (ряд Макларена).

;

→

МЕТОДИКА 5. Методы мотивации изучения темы:

Необходимое условие для создания у учащихся интереса к содержанию обучения и к самой учебной деятельности — возможность проявить в учении умственную самостоятельность и инициативность. Чем активнее методы обучения, тем легче заинтересовать ими учащихся. Основное средство воспитания устойчивого интереса к учению — использование таких вопросов и заданий, решение которых требует от учащихся активной поисковой деятельности.

•Большую роль в формировании интереса к учению играет создание проблемной ситуации, столкновение учащихся с трудностью, которую они не могут разрешить при помощи имеющегося у них запаса знаний; сталкиваясь с трудностью, они убеждаются в необходимости получения новых знаний или применения старых в новой ситуации.. Интересна только та работа, которая требует постоянного напряжения. Легкий материал, не требующий умственного напряжения, не вызывает интереса. Преодоление трудностей в учебной деятельности — важнейшее условие возникновения интереса к ней. Трудность учебного материала и учебной задачи приводит к повышению интереса только тогда, когда эта трудность посильна, преодолима, в противном случае интерес быстро падает.

Учебный материал и приемы учебной работы должны быть достаточно (но не чрезмерно) разнообразны. Разнообразие обеспечивается не только столкновением учащихся с различными объектами в ходе обучения, но и тем, что в одном и том же объекте можно открывать новые стороны. Один из приемов возбуждения у учащихся познавательного интереса — «отстранение», т. e. показ учащимся нового, неожиданного, важного в привычном и обыденном. Новизна материала — важнейшая предпосылка возникновения интереса к нему. Однако познание нового должно опираться на уже имеющиеся у школьника знания. Использование прежде усвоенных знаний — одно из основных условий появления интереса. Существенный фактор возникновения интереса к учебному материалу - его эмоциональная окраска, живое слово учителя.

Эти положения, сформулированные С. М. Бондаренко, могут служит определенной программой организации учебного процесса, специально направленной на формирование интереса.