Закрепление материала

Изучив новый материал его необходимо закрепить

Задача 1. Проверить, какие из следующих конечных последовательностей являются арифметическими прогрессиями, и найти их а ₁ и d.
а) 1, 4, 7, 10; б) 1, 4, 15, 18; в) 1, -2, -5, -6; г) 1, -1, -3, -5.

Ответ: а, г.

Задача 2. В арифметической прогрессии (an), известно, что a₁ =2 и a₁₁ =-11. Найти разность арифметической прогрессии d.

Ответ: d= -1,3.

Задача 3. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии, у которой а ₁=3, d =2.

Ответ: 3, 5, 7, 9, 11.

Задача 4. Является ли число 22,5 членом арифметической прогрессии (a_n): 6,8; 8;..?

Ответ: число 22,5 не является членом данной арифметической прогрессии.

Задача 5. Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Ответ: 10 дней следует принимать ванны

Билет № 2. «Функция».

Пусть даны два числовых мн-ва X и У, и задано некоторое отобр-ие f. Если каждому элементу соответствует единственное значение и при этом каждому значению у поставлено в соответствие единственное зн-ие х, то говорят, что между мн-вами Х и У установлено ВОС, кот-ое и наз-ся функцией.

Х – область опр-ия ф-ции.

у=f(x) возраст., если большему значению аргумента соотв-ет большее зн-ие ф-ции

у=f(x) убыв., если большему значению аргумента соотв-ет меньшее значение ф-ции

у=f(x)-периодическая с периодом Т, если f(x+Т)=f(x)

у=f(x)-четная на симметричном отн-но т.0 (начала координат) промежутке, если f(-x)=f(x).

у=f(x)-нечетная на симметричном отн-но т.0 (начала координат) промежутке, если f(-x)=-f(x).

у=f(x)-ограничена сверху, если М, х Х: f(x)≤M

у=f(x)-ограничена снизу, если m, х Х: f(x)≥m

у=f(x)-ограниченная, если К>0, x Х:| f(x)|≤К

у=f(x)-явная

у=F(x,y)-неявная

Число а наз. пределом ф-ции f(x) в точке х₀, если ε>0, найдётся δ>0 зависящее от ε, то для удовлетворяющих неравенству : , т.е.

Геометрический смысл:

, т.е.

Когда х попадает в δ-окрестность точки х₀, х соответствующее значение ф-ции попадает в ε-окрестность точки а

Т: Пусть и , то

1) , 2)

3) , ,4) ,5)

Док-во: 1) На основании теоремы, что если ф-ция имеет своим пределом число а, то она может быть представлена в виде суммы своего предела и бесконечно малой f(x)=a+ α(х) при х→х₀, т.е. f(x)= a+α(х), где α(x)-бесконечно малая при х→х₀, а g(x)=a+β(х), где β(х)-бесконечно малая при х→х₀ f(x)+g(x)=(a+b)+ (α(х)+β(х)), то по обратной теореме: если ф-ция м/б представлена в виде суммы числа и бесконечно малого, то это число явл-ся пределом для данной ф-ции.

2) Тоже самое, только: f(x)*g(x)=(a*b)+ (b*α(х) + a*β(х) + α(х)*β(х)), то по обр. теореме доказано.

3) α(x),β(х)-бесконечно малые, при х→х₀. -бесконечно малое, при х→х₀ , то по обр. теореме доказано.

- 1-ый зам. предел - 2-ой зам. предел

Пусть ф-ция f(x) определена на мн-ве Х, а (.)х₀ Х, то ф-ция f(x) непрерывна в (.)х₀:

(по Коши) Ф-ция f(x) непрерывна в (.)х₀ .

(по Гейне) Ф-ция f(x) непрерывна в (.)х₀, если какую бы послед-ть различных точек х₁,х₂,…,х_n,… сходящихся к х₀ не взять, послед-ть соответствующих значений ф-ций f(х₁),f(х₂),…,f(х_n),… сходится к f(х₀).

(на яз.приращ) Ф-ция f(x) непрерывна в (.)х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращению ф-ции.

Точка х₀ наз. точкой разрыва ф-ции f(x), если в ней нарушено какое-либо условие непрерывности, а именно:

1) f(x) м/б неопределенна в (.)х₀ (не существовать);

2) м/б не существует предел ф-ции f(x) при х→х₀;

3)

Точка х₀ наз. точкой устранимого разрыва, если предел в этой точке существует но не равен f(x₀)- значению ф-ции или предел в этой точке существует, но сама ф-ция в (.)х₀ не определена.

Точка х₀ наз. точкой разрыва I рода, если односторонние пределы существуют, но не равны между собой.

Точка х₀ наз. точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существуют или равен .

Т(1-ая Т.Больцано-Коши): Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдётся хотя бы одна (.)с є [a,b], в которой ф-ция обращается в 0, т.е. f(с)=0.

Т(2-ая Т. Б-К): Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах разные значения, то какое бы число М мы не взяли, лежащее между f(a) и f(b), то внутри отрезка [a,b] найдётся такая (.)С, в которой f(С)=М.

Док-во:

Пусть f(a)<f(b), f(a)<М<f(b).

Рассм. φ(х)=f(x)-M и найдем ее значение на концах отрезка: φ(a)=f(a)-M<0; φ(b)=f(b)-M>0; φ(x) -непр. как разность непр. ф-ции и константы (1Т.Б-К). Значит внутри отрезка [a,b] найдется такая т.С, в которой ф-ция

φ(с)=0 f(c)-M=0 f(c)=M

Т(1-ая Т.Вейерштрасса): Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она на нем ограничена.

Т(2-ая Т.В): Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих наибольших и наименьших значений.

МЕТОДИКА 2. «Понятие функции и способы задания функции»

Основные понятия темы: независимая и зависимая переменные, функция, область определения, область значений ф-ии, графики ф-ии.

Основные предложения темы:

- свойства функции (область определения, область значения, монотонность, периодичность, четность, нечетность, нули функции, промежутки знакопостоянства, экстремумы, непрерывность).

- способы задания функции (аналитический, табличный, графический, описание).

Фрагмент урока: «Понятие ф-ии» 7 класс

Тип урока: изучения нового материала

Цели:

Обучающие: - изучить основные функциональные понятия;

Развивающие: - развитие операционное мышление: умение анализировать, сравнивать, обобщать;

- развитие мировоззрения, речи, памяти;

Воспитательные: - воспитание интереса к математике;

- эстетическое воспитание.

Содержание урока:

1. Организационный момент (2-3 мин)

2. Актуализация знаний (6-7 мин)

3. Изучение нового материала (13-14 мин)

4. Усвоение нового материала (17-18 мин)

5. Домашнее задание (2-3 мин)

6. Итоги урока (2-3 мин)

Мотивация к изучению темы: «Понятие функции».

В зависимости от возрастных особенностей выделяют следующие методы мотивации: 1. проблемный способ изложения материала, 2. эмоциональный характер, 3. связь с практикой, с жизнью, 4. связь с прошлым материалом, 5. научно-факторная содержательность материала, 6. коллективная работа.

С учетом возрастных особенностей учащихся воспользуемся одним из методов мотивации – связь с жизнью – и подведем их к понятию функция, показав зависимость одной величины от другой, решив следующие задачи.

Задача 1. Из пункта А в пункт В отправился пешеход. Траектория пути изображена на графике. Расстояние от пункта А до пункта В 20 верст. Сколько верст прошел пешеход спустя 2 часа, 4 часа, 8 часов, 18 часов.

(для наглядности используется плакат с изображением графика зависимости)

Задача 2. На окраине леса шириной 100м запыленность воздуха составляет 65% от запыленности на открытом месте, на расстоянии 400м от края леса она снижается до 38%, 1000м – до 25%, 3км – до 5%. Постройте график зависимости уменьшения запыленности по мере удаления в лес.

Рис.1

Таким образом, ребята, зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у

Билет № 3. «Дифференциальные уравнения».

Уравнение, содержащее независимую переменную x, функцию у и ее производную у ', (не разрешимое) наз. дифференциальным уравнение I порядка (д/у) и обозначается: .

Интегралом диф-го урав-яназ. соотношение, связывающее независимые переменные и искомую ф-цию, т.е. - интеграл диф-го урав-я - решение.

Условие при наз. начальным условием. (или , или )

Общим решением д / у I порядка наз. ф-ция , где с- произвольная постоянная, удовлетворяющая двум условиям:

1) она удовлетворяет данному д/у при любом конкретном значении с;

2) каково бы ни было начальное условие можно найти такое значение , что ф-ция б/т удовлетворять начальным условиям.

Д/у устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х;y) и угловым коэффициентом y^' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, д/у y'=ƒ(х;y) дает совокупность направлений (семейство кривых) на плоскости Охy. Таково геометрическое истолкование д/у I порядка

Частным решением д/уI порядка наз. любая ф-ция , которая получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной .

Т(о существовании и единственности решения д/у I порядка): Если в д/у правая часть и частная производная явл-ся непрерывной в D, содержащую искомую (.)М(х₀,у₀) D, то , и при том единственное решение этого урав-я , которое удовлетворяет начальному условию: при .

Виды уравнений:

1) Уравнения с разделёнными переменными. Уравнения вида P(x) dx + Q(y) dy = 0.

∫ P(x) dx + ∫ Q(y) dy = c - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пр: - уравнение с разделяющимися коэффициентами

- общий интеграл.

С точки зрения геометрии получим мн-во окружностей.

2) Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида

, общий интеграл.

Пр:

При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln| C ₁|: Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.