Теорема Лагранжа

Пусть G – группа, и H – подгруппа в G. Введем на множестве G бинарное отношение ~: для элементов g₁, g₂ Î G будем считать по определению, что g₁ ~ g₂ Û g₁g₂^-1Î Н. Выражение g₁g₂^-1 называется групповой разностью.

Очевидно, g₁g₂^-1= h Î Н Û g₁= h g₂.

Утверждение. Отношение ~ является отношением эквивалентности на G.

Доказательство. Очевидно, отношение ~ - рефлексивно, то есть "gÎ G g ~ g, так как g g ^-1 = e Î H. Кроме того, отношение ~ - симметрично, так как если g₁ ~ g₂, то

g₁g₂^-1= h Î Н Þ h ^-1ÎH, h ^-1= g₂g₁^-1Î H Þ g₂ ~ g₁ . И наконец, отношение ~ - транзитивно, так как если g₁~ g₂, g₂ ~ g₃, то g₁g₂^-1= h₁Î Н, g₂g₃^-1= h₂ Î Н Þ h₁h₂ = g₁g₃^-1Î Н Þ g₁ ~ g₃.



Таким образом, множество G разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов. Причем cl g₁ = {g Î G| g ~ g₁} = {g Î G| g = hg₁, h Î Н } = Hg₁. Класс Hg₁ называется правым смежным классом элемента g₁ по подгруппе Н. Аналогично, левым смежным классом элемента g₁ по подгруппе Н называется подмножество g₁H.

Упражнение. Найти фактормножество G / ~ в случаях, когда H = G и H = {e}.

Пусть G – конечная группа, и число элементов группы G равно п: |G| = n. Число элементов группы называется порядком группы. Пусть Н – подгруппа в G, |H| = m.

Теорема Лагранжа. m | n, причем n = km, где k – число правых смежных классов группы G по подгруппе Н.

Доказательство. Пусть H = { h₁,…, h_m}. Тогда

Hg ={ h₁g,…, h_mg }, причем все элементы h₁g,…,h_mg – различ-

ны, так как если h_ig = h_jg, то h_igg ^-1 = h_jgg ^-1 Þ h_i = h_j. Следовательно, | Hg| = m = |H|, то есть число элементов во всех правых смежных классах одинаково и равно т. Так как количество смежных классов равно k, они не пересекаются и их объединение совпадает с G, то n = mk Þ m = n / k.



Аналогично доказывается теорема Лагранжа для левых смежных классов группы G по подгруппе Н. И количество их также равно n / k = т.

Определение. Количество смежных классов (правых или левых) группы G по подгруппе Н называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается (G:H).

В новых обозначениях теорема Лагранжа может быть сформулирована так: |G| / |H| = (G:H).