Приведение пары форм

Рассмотрим линейное пространство L^п над полем С с ба-

зисом е. Пусть F, G – эрмитовы квадратичные формы, причем G > 0, а f, g – соответствующие эрмитовы полуторалинейные формы. Так как g – эрмитова полуторалинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x, y)= (x, y)_g, а L^п с этим скалярным произведением - унитарное пространство: L^п = Н^п. По доказанному в п.27.1, в унитарном пространстве Н^п существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор у =(y₁,y₂,…,y_n), то G(у)= | y₁ | ²+ | y₂ | ² +…+ | y_n | ² (так как базис ортонормированный в смысле g), и

F(у)= l₁ | y₁ | ²+l₂ | y₂ | ²+…+ l_n | y_n | ². Соответственно, если в этом базисе вектор z =(z₁,z₂,…,z_n), то g(у,z) = y₁ + y₂ +…+y_n ,

f(y, z) = l₁y₁ + l₂y₂ +…+l_ny_n .

Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой пары эрмитовых квадратичных форм F и G, G > 0, в линейном пространстве L^п над полем С существует базис и, в котором форма F имеет канонический вид, а G имеет нормальный вид, то есть

= diag(l₁,l₁,…,l_n) – диагональная матрица, причем все l_iÎ R, а = E. Это означает, что существует матрица Т= перехода к новому базису и такая, что

Т ^t = diag(l₁,l₁,…,l_n), Т ^t = Е.

Так как коэффициенты l₁,…,l_n формы F – это собственные значения линейного оператора j с матрицей = = , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = , то есть уравнение

det( -lE) = 0. Но = Т ^t , Е = Т ^t , и

det( -lE) = det(Т ^t( – l ) )= 0 Û det( - l )=0 – это уже уравнение для известных (заданных) матриц и . Многочлен = det( - l ) называется характеристическим многочленом пары форм F, G (G > 0) а уравнение =0 называется характеристическим уравнением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов l₁,…,l_n формы F нужно найти корни характеристическое уравнение пары форм.

Чтобы найти векторы базиса и = {и₁,…, и_n}, надо найти собственные векторы линейного оператора j, решая однородные системы линейных уравнений ( - l_iE) = [ 0 ] (с

неизвестной матрицей в неизвестном базисе и). Заметим, что в качестве решения и_i мы получим набор координат

(0,0,…,0, ,0,…,0). Далее, ( -l_iE) = Т ^t( - l_i ) = =Т ^t( - l_i ) [ x ] ¢= [ 0 ] Û ( - l_i ) [ x ] ¢= [ 0 ] – это уже СЛУ с известными матрицами , , а [ x ] ¢= . И решениями этой системы являются векторы «комплексно сопряженного» базиса .

Таким образом, чтобы найти векторы искомого базиса и

ГРУППЫ

Далее будем считать, если не оговорено противное, что

G – мультипликативная группа (то есть групповую опера­цию в G мы будем называть умножением), e - нейтрал в G.