Сопряженные линейные операторы. Пусть j : Нп ® Нп - линейный оператор

Пусть j: Н^п ® Н^п - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = (j x, a).

Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то

есть fÎ (Н^п)*, и следовательно, f = f_b при некотором bÎ Н^п.

Будем считать, что b = j*a, где j*: Н^п ® Н^п - некоторое отображение. Из определения j* получаем, что

(j x, a) = (x, b) = (x, j*a) или (j x, а) = (х, j*a).

Утверждение. j*: Н^п ® Н^п – линейный оператор.

Упражнение. Доказать утверждение.

Определение. Линейный оператор j*: Н^п ® Н^п называется сопряженным к линейному оператору j.

Очевидно, j** = j, так как (j х, у) = (х, j*у) = (j**х, у).

Теорема. Для линейных операторов j и y на Н^п эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих условий y = j*, j = y*):

1. (j x, у) = (х, yу) " х, у Î Е^п.

2. (j е_i,е_j)= (е_i,y е_j) " i, j " (для некоторого) базиса е в Е^п.

3. (j и_i,и_j) = (и_i,y и_j) " i, j " (для некоторого) ортонорми-

рованного базиса и в Е^п.

4. [ ] ^t × = × , или же [ ] = ^-1× ^t × , где - матрица Грама для базиса е (доказать, что Г^-1 $ - см. также п.26.1).

5. [ ] = ^t.

Упражнение. Доказать теорему.