Унитарная группа

Рассмотрим множество U(Hⁿ) унитарных операторов на унитарном пространстве Нⁿ. Пусть также U(n) – множество унитарных п´п- матриц, SU(n)= {AÎ U(n)| detA=1},

SU(Hⁿ) = {j Î U(Hⁿ)| detj = 1}.

Теорема 2.

1. U(Hⁿ) – группа, 2. U(n) – группа, 3. U(Hⁿ)» U(n),

4. SU(Hⁿ) – подгруппа в U(Hⁿ), 5. SU(n) – подгруппа в U(n).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2 из п.19.2.

Упражнение. Доказать теорему 2.

Структура унитарного оператора.

Лемма. Пусть j: Н® Н - унитарный оператор, Н É L -

j- инвариантное подпространство. Тогда L ^{^} - j- инвариантное

подпространство.

Доказательство аналогично доказательству леммы из

П.19.3.

Пусть j: Н^п ® Н^п - унитарный оператор. По теореме из п. 16.7 в Н^п $ L₁ - j- инвариантное подпространство размерности 1. Тогда по лемме L₁ ^{^} - j- инвариантное подпространство, и Н^п = L₁ Å L₁ ^{^}. Так как j на L₁ ^{^} - унитарный оператор, то в L₁ ^{^} $ L₂ - j- инвариантное подпространство размерности 1, и ортогональное дополнение L¢ к L₂ в L₁ ^{^} также j- инвариантно. Далее, Н^п = L₁ Å L₂ Å L¢, и в L¢ $ L₃ - j- инвариантное подпространство размерности 1, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Н^п= L₁ Å…Å L_п, где все L_i – j- инвариантны, попарно ортогональны, одномерны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L = <e>, и j: L® L - унитарный оператор, то j е = cе, c Î C,

(j е,j е)= (е,е) Û |c|²(е,е) = (е,е) Û |c|²=1, c = cosa + i×sina.

В разложении H^п = L₁ Å L₂ Å…Å L_n выберем в каждом L_i единичный вектор. Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Н^п. В этом базисе матрица унитарного оператора j имеет диагональный вид:

[ ] = diag(l₁,l₂,..., l_n), где все l_s = cosa _s + i×sina _s .

Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого унитарного оператора j: Н^п ® Н^п $ ортонормированный базис и пространства Н^п, в котором матрица j имеет вид:

[ ] = diag(l₁ ,l₂,..., l_n), где все l_s = cosa_s + i×sina_s. (22.1)

Верно и обратное утверждение: если [ ] имеет вид (22.1), то j - унитарный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой унитарной матрицы А существует унитарная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т ^-1АТ имеет вид (22.1).

Очевидно, любая матрица вида (22.1) – унитарная.

Таким образом, любая унитарная матрица унитарно эквивалентна матрице вида (22.1).

Упражнение. Определить, какие матрицы вида (22.1) унитарно эквивалентны друг другу.

Лекция 33.