Моменты инерции некоторых простейших тел приведены в таблице 1

Рисунок 32

Рисунок 33

Если человеку с гирями, находящемуся на горизонтальной платформе Жуковского (рис. 32), которая может вращаться вокруг вертикальной оси почти без трения, сообщить угловую скорость вращения вокруг этой оси, то , так как внешние силы или параллельны оси (силы веса человека, гирь и платформы), или пересекает ось (реакции подшипника при отсутствии силы трения). Если человек увеличит момент инерции относительно оси вращения, разводя руки с гирями в сторону, то угловая скорость вращения уменьшится, и наоборот. Человек, стоящий на идеально гладкой горизонтальной плоскости (рис. 33), может повернуться вокруг оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно к этой плоскости, если начнет вращать руку над головой; направление вращения человека будет противоположно направлению вращения руки, так как .

ПРИМЕР 16.

Однородная круглая платформа радиусом R=1м, массой m₁=20кг вращается с угловой скоростью =10с^-1 вокруг вертикальной оси, отстоящей от центра платформы на расстоянии ОС=в=0,5R (рис. 34). В момент времени t₀=0 по желобу платформы начинает двигаться под действием внутренних сил груз D массой m₂=8кг по закону S=AD=5t², где S— в метрах, t— в секундах. Одновременно начинает действовать пара сил с моментом М=10кНм. Определить, пренебрегая массой вала, угловую скорость платформы как функцию времени.

Рисунок 35

Рисунок 34

РЕШЕНИЕ.

1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза D. Применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z: . (1) Покажем все внешние силы, действующие на систему: веса и , реакции подшипника и подпятника , пару сил с моментом М.

2. Кинетический момент системы относительно оси вращения найдем как сумму кинетических моментов платформы и груза . (2) Кинетический момент платформы , где -- момент инерции относительно оси вращения. Для нахождения момента инерции платформы используем формулу Штейнера: . Тогда . (3) Кинетический момент определяем, учитывая, что груз совершает сложное движение; абсолютная скорость груза складывается из переносной и относительной скоростей (рис. 35), т.е. .

В относительном движении груз движется по платформе по закону S=5t². Тогда . Вектор относительной скорости груза направлен вдоль желоба в сторону, соответствующую возрастанию относительной координаты S=AD (рис. 35).

Переносным движением для груза является вращение платформы вокруг оси z.

, где . Кинетический момент груза относительно оси вращения выразим, используя теорему Вариньона ;

;

где ;

,

тогда

. (4) Подставим (3), (4) в (2): . (5)

3. К системе приложена пара сил с моментом М=10t. Тогда уравнение (1) примет вид . (6) Разделяя переменные и интегрируя (6), получаем . (7) Подставим (7) в (5):

. (8) Постоянную интегрирования С₁ определяем из начальных условий. Если t=0, , то ; . С учетом найденного значения постоянной интегрирования из уравнения (8) выразим угловую скорость платформы . С учетом заданных числовых значений получим .