Теорема об изменении количества движения

Количество движения мерой механического движения, если механическое движение перейдет в механическое. Например, механическое движение бильярдного шара (рис. 22) до удара переходит в механическое движение шаров после удара. Для точки количество движения равно произведению .

Мерой действия силы в этом случае является импульс силы

. (9.1)

Импульс определяет действие силы за промежуток времени . Для материальной точки теорему об изменении количества движения можно использовать в дифференциальной форме (9.2) или интегральной (конечной) форме . (9.3)

Изменение количества движения материальной точки за какой-то промежуток времени равно импульсу всех сил, приложенных к точке за то же время.

Рисунок 22

При решении задач теорема (9.3) чаще используется в проекциях на координатные оси ;

; (9.4)

.

С помощью теоремы об изменении количества движения точки можно решать задачи, в которых на точку или тело, движущееся поступательно, действуют силы постоянные или переменное, зависящие от времени, а в число заданных и искомых величин входят время движения и скорости в начале и конце движения. Задачи с применением теоремы решаются следующей последовательности:

1. выбирают систему координат;

2. изображают все действующие на точку заданные (активные) силы и реакции;

3. записывают теорему об изменении количества движения точки в проекциях на выбранные оси координат;

4. определяют искомые величины.

ПРИМЕР 12.

Молот весом G=2т падает с высоты h=1м на заготовку за время t=0,01с и производит штамповку детали (рис. 23). Определить среднюю силу давления молота на заготовку.

РЕШЕНИЕ. 1. На заготовку действуют сила тяжести молота и реакция опоры . Величина опорной реакции изменяется со временем, поэтому рассмотрим среднее ее значение . 2. направим ось координат у по вертикали вниз и применим теорему об изменении количества движения точки в проекции на эту ось: , (1) где -- скорость молота в конце удара; -- начальная скорость молота в момент соприкосновения с заготовкой. 3. Для определения скорости составим дифференциальное уравнение движения молота в проекции на ось у:

. (2)

Разделим переменные, проинтегрируем дважды уравнение (2): ;

;

. Постоянные интегрирования С₁, С₂ найдем из начальных условий. При t=0 V_y=0, тогда С₁=0; у=0, тогда С₂=0. Следовательно, молот движется по закону , (3) а скорость движения молота изменяется по закону . (4) Время движения молота выразим из (3) и подставим в (4) ; . (5)

4. Проекцию импульса внешних сил на ось у найдем по формуле: . (6) Подставим (5) и (6) в (1): , откуда находим реакцию опоры, и, следовательно, искомое давление молота на заготовку т.

Рисунок 24

Количество движения механической системы можно определить как сумму количеств движения точек системы . (9.5) Количество движения системы или твердого тела можно определить, зная массу системы и скорость центра масс , (9.6)

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, Действующих за то же время. Иногда удобнее пользоваться теоремой об изменении количества движения в проекции на оси координат ; (9.8) . (9.9)

Закон сохранения количества движения устанавливает, что при отсутствии внешних сил количество движения механической системы остается постоянным. Действие внутренних сил не может изменить количества движения системы. Из уравнения (9.6) видно, что при , .

Если , то или .

гребного винта или пропеллера, реактивного движения. Кальмары движутся рывками, выбрасывая воду из мускульного мешка по принципу водомета (рис. 25). Отталкиваемая вода обладает известным количеством движения, направленным назад. Кальмар получает при этом соответствующую скорость движения вперед за счет реактивной силы тяги , так как перед выпрыгиванием кальмара сила уравновешивается силой тяжести .

Применение теоремы об изменении количества движения позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы.

ПРИМЕР 13.

На железнодорожной платформе, свободно стоящей на рельсах, установлена лебедка А с барабаном радиуса r (рис. 26). Лебедка предназначена для перемещения по платформе груза В массой m₁. Масса платформы с лебедкой m₂. Барабан лебедки вращается по закону . В начальный момент времени система была подвижна. Пренебрегая трением, найти закон изменения скорости платформы после включения лебедки.

РЕШЕНИЕ.

1. Рассмотрим платформу, лебедку и груз как единую механическую систему, на которую действуют внешние силы: сила тяжести груза и платформы и реакции и .

2. Так как все внешние силы перпендикулярны оси х, т.е. , применим закон сохранения количества движения механической системы в проекции на ось х: . В начальный момент времени система была неподвижна, следовательно,

Выразим количество движения системы в произвольный момент времени. Платформа движется поступательно со скоростью , груз совершает сложное движение, состоящее из относительного движения по платформе со скоростью и переносного движения вместе с платформой со скоростью . , откуда . Платформа будет перемещаться в сторону, противоположную относительному движению груза.

ПРИМЕР 14.

РЕШЕНИЕ. 1. Применим теорему об изменении количества движения механической системы в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны, то , тогда , откуда . (1) 2. Выразим проекцию количества движения на ось х для рассматриваемой механической системы ,

где , -- количество движения пластины и груза соответственно.

; , где --абсолютная скорость груза D. Из равенства (1) следует, что К_1х+К_2х=С₁ или m₁u_x+m₂V_Dx=C₁. (2) Для определения V_Dx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к пластине относительным, а движение самой пластины переносным, тогда , (3) ; или в проекции на ось х: . (4) Подставим (4) в (2): . (5) Постоянную интегрирования С₁ определим из начальных условий: при t=0 u=u₀; (m₁+m₂)u₀=C₁. (6) Подставляя значение постоянной С₁ в уравнение (5), получаем м/с.