Оценка уравнения регрессии

Доверительный интервал функции регрессии.

Построим доверительный интервал для функции регрессии, то есть для условного математического ожидания , который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) накрывает неизвестное значение .

Найдем дисперсию , для чего уравнение регрессии представим в виде:

. (5.22)

Случайными величинами являются и , следовательно, дисперсия равна сумме их дисперсий:

. (5.23)

Дисперсия выборочной средней:

, (5.24)

где дисперсия возмущений (остаточная дисперсия). Она должна быть одинакова для всех . Несмещенной оценкой ее является

. (5.25)

Для определения дисперсии в формуле (5.23) ковариацию запишем как

, (5.26)

и . (5.27)

Тогда (5.28)

Заменим ее оценкой и окончательно получим:

. (5.29)

С татистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Следовательно, можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания :

, (5.30)

где стандартная ошибка групповой средней ,

квантиль распределения Стьюдента для уровня значимости и степеней свободы.

Из формулы (5.29) видно, что величина доверительного интервала зависит от значения фактора : при она минимальна, а по мере удаления от величина доверительного интервала увеличивается (рис. 5.3).

0 x

y

0 x

y

0 x

y

доверительные границы для     доверительные границы для

Рис. 5.3.

Доверительный интервал для индивидуальных значений результативной переменной.

Построенная доверительная область (5.30) для (рис. 5.3) определяет местоположение модельной линии регрессии, но не отдельных возможных значений результативной переменной, которые отклоняются от средней. Поэтому при определении доверительного интервала для индивидуальных значений результативной переменной необходимо учитывать еще один источник вариации – рассеяние вокруг линии регрессии, то есть в оценку суммарной дисперсии следует включить величину . В результате оценка дисперсии индивидуальных значений при равна:

, (5.31)

а соответствующий доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений равен:

. (5.32)

Пример 5.3.По данным табл. 5.1: 1) оценить сменную среднюю добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м; 2) найти доверительные интервалы при для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на одного рабочего для таких же шахт; Решение. Уравнение регрессии (Пример 5.1): . 1) Оценим условное математическое ожидание : . Чтобы построить доверительный интервал для необходимо знать дисперсию его оценки, то есть . Составим вспомогательную таблицу 5.2, с учетом того, что   Таблица 5.2.                                                                 4,57 9,29 11,18 8,34 4,57 5,51 7,40 6,46 6,46 10,23   0,32 0,51 1,38 0,12 2,05 2,29 2,56 0,30 2,12 0,59 12,23 По (5.25) находим ; по (5.29) и . По таблице распределения Стьюдента: . Интервал (5.30): или с надежностью . 2) Для построения доверительного интервала индивидуального значения , найдем дисперсию его оценки (5.31) и . Интервал (5.32): или с надежностью .