Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Зведення основних положень та результатів⇐ ПредыдущаяСтр 34 из 34
1. Будь-яке просте скіченне поле ізоморфне ‑ полю лишків за модулем при деякому простому (операції в ‑ це операції над цілими числами за ). 2. Кожне скінченне поле містить просте підполе (при деякому простому ), і тільки одне. 3. Кожне скінченне поле має елементів, де деяке просте, а ‑ натуральне числа і позначається або . ‑ кількість елементів поля ‑ називається його порядком, ‑ характеристикою поля, а степенем розширення над простим підполем . 4. є лінійним векторним простором над . Це означає, що елементи поля можна зобразити як вектори розмірності з компонентами з простого поля . Додавання цих елементів виконується покомпонентно – компоненти додаються за . Елементи можна також зобразити як поліноми степеня не вище за з коефіцієнтами з простого підполя. Множення в виконується як множення цих поліномів за , де незвідний над поліном степеня , причому поля, одержані за допомогою різних незвідних поліномів степеня , ізоморфні. 5. є підполем (інакше кажучи, є розширенням ) тоді і тільки тоді, коли ділить . 6. Нехай . Кожен елемент є алгебраїчним над , тобто є коренем деякого полінома з коефіцієнтами з . Серед усіх поліномів над , для яких є коренем, існує єдиний незвідний нормований поліном. Він називається мінімальним поліномом елемента . 7. Множина ненульових елементів з операцією множення, заданою в цьому полі, утворює мультиплікативну групу скінченного поля. Ця група циклічна. 8. Твірні елементи мультиплікативної групи називаються примітивними елементами поля . Їх кількість дорівнює . Використовуючи зображення елементів скінченного поля як степенів примітивного елемента (таблицю індексів), зручно обчислювати добуток елементів . 9. Всі елементи поля , і тільки вони, задовольняють рівності Нехай . Для того, щоб перевірити, чи належить полю елемент , досить перевірити для нього цю рівність. Інакше кажучи, всі елементи поля , і тільки вони, є коренями полінома , а поле ‑ поле розкладу цього полінома. 10. Над полем поліном розкладається у добуток всіх незвідних над нормованих поліномів, степні яких ділять . 11. Корені незвідного над полінома степеня лежать у полі . Якщо ‑ корінь , то всі його корені можна зобразити у вигляді: . 12. Незалежно від того, чи є коренем незвідного полінома, елементи називаються спряженими з відносно поля . Спряжені елементи (а отже і корені незвідного полінома) мають однаковий порядок у мультиплікативній групі поля . 13. Сума всіх спряжених з відносно елементів називається слідом над , а добуток – нормою. Слід є лінійним відображенням ; через слід виражаються всі лінійні відображення в . 14. , як лінійний векторний простір над , має базис розмірності . Базис, що складається з степенів , де ‑ корінь деякого незвідного над полінома степеня , називається поліноміальним. Якщо базис складається із спряжених над елементів, то він називається нормальним. Для будь-якого скінченного поля існує нормальний базис над будь-яким його підполем. 15. Порядком полінома () називається мінімальне натуральне число таке, що (таке завжди існує) і позначається . Якщо ‑ незвідний поліном степеня , то ; для звідного полінома це, взагалі кажучи, не так. Найбільший порядок, який може мати поліном степеня над , дорівнює . 16. Порядки довільних поліномів через порядки незвідних поліномів обчислюються наступним чином. Нехай – скінченне поле характеристики p, – канонічний розклад полінома , ,deg >0. Тоді a. , b. де N . 17. Незвідний нормований поліном степеня , який має порядок , називається примітивним. Він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента поля ; більше того, всі корені примітивного полінома ‑ примітивні. Кількість примітивних поліномів степеня над дорінює . 18. Автоморфізм скінченного поля над підполем ‑ це автоморфізм , який залишає елементи на місці. Всі автоморфізми над вичерпуються відображеннями виду: ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
|