ТЕОРЕМА 46 (властивості норми)

1) .

2) – це відображення F на і F* на K*.

3) .

4) .

Читачу пропонується довести цю теорему в якості вправи.

БАЗИСИ

Нехай , . Оскільки скінченне поле є лінійним векторним простором розмірності над своїм підполем, то в повинен існувати базис над . Нехай – такий базис, тобто, , і – система лінійно незалежних векторів над . Коефіцієнти a_i можна розглядати як функції від a: . Неважко бачити, що c_i – лінійні функції, які за теор.44 можна виразити через слід:

, (1)

де кожен елемент однозначно задає свою функцію c_i.

ТЕОРЕМА 47. Система елементів , що визначається рівностями (1), утворює базис F над .

4Нехай , – фіксоване.

(2)

внаслідок того, що . Доведемо, що – система лінійно незалежних елементів. Для цього треба показати, що :

,

але слід від нуля рівний нулю, тому , а оскільки j – довільне, то маємо необхідне: – лінійно незалежна система. 3

u Базиси і такі, що виконується співвідношення (2), називаються дуальними. Існують базиси, дуальні самим собі – такі базиси називаються автодуальними.

u Нехай – поле, – алгебраїчний над елемент, . Базис виду називається поліноміальним (його існування забезпечує теор.23).

u Базис, що складається з елементів, спряжених з деяким певним чином підібраним елементом ,називається нормальним.

Система спряжених елементів не завжди утворює базис, а лише тоді, коли ці елементи лінійно незалежні (у цьому значенні елемент певним чином підібраний).

ТЕОРЕМА 48 (про нормальний базис). Для будь-якого скінченного поля табудь-якого його скінченного розширення F існує нормальний базис F над .

Теорема дається без доведення.