Сліди та норми

Нехай , ().

u Слідом елемента над полем називається сума всіх елементів, спряжених з відносно поля :

.

u Якщо – просте підполе (), то слід називається абсолютним і позначається:

.

Нехай – мінімальний поліном елемента (він завжди незвідний). Якщо deg f = n, то його коренями є α, α^q, …, (теор.33). Якщо deg f = , то d повинно ділити n (див. теор. 23, п. 3)). Розглянемо поліном , . Він буде нормованим і мати вид

.

Його коренями є , кожен кратності . Враховуючи кратність, їх теж можна позначити як . Всі корені лежать в , тому в полі він розкладається в добуток:

Звідки, прирівнюючи коефіцієнти, одержуємо , що дорівнює сліду елемента над полем . Так як , можна зробити висновок, що слід елемента лежить в , тобто маємо відображення (див. рисунок).

u Поліном називається характеристичним поліномом елемента .

ТЕОРЕМА 43 (властивості сліду). Нехай , . Тоді мають місце такі властивості:

1) Якщо , то .

4 .3

2) Якщо , , то .

4 .3

3) – сюр'єктивне лінійне відображення F на як лінійних векторних просторів.

4Лінійність доведена в пп. 1), 2). Доведемо сюр'єктивність. Для цього достатньо показати, що , оскільки якщо пробігає всі елементи , то за властивістю 2) одержимо – теж пробігає всі елементи . Будь-який елемент такий, що , є коренем полінома . Але оскільки даний поліном має не більше, ніж коренів, а поле F містить елементів, то в ньому існують потрібні нам елементи: .3

4) , де – степінь розширення F над .

4 так як .3

5) .

4 3

Слід не тільки сам є лінійним відображенням – через нього виражаються всі лінійні відображення з у .

ТЕОРЕМА 44. Будь-яке лінійне відображення з у є відображенням , виду . При цьому , якщо .

4Кожне відображення за теор. 43 є лінійним відображенням на . При цьому, якщо , то

для відповідним чином вибраного елемента . Тому та відмінні. Так як у елементів, то одержуємо різних лінійних відображень із у . З іншого боку, взявши деякий базис векторного простору над , ми можемо отримати будь-яке лінійне відображення у , відображаючи базисні елементи у довільні елементи поля Це можна зробити різними способами; отже, всі лінійні відображення у вичерпуються відображеннями , .3

ТЕОРЕМА 45 (про транзитивність сліду). Нехай – башта розширень. Тоді (див. рисунок).

4Нехай , . Оскільки , , ,то

3

u Нормою елемента над полем називається добуток усіх елементів, спряжених з відносно поля :

.

Аналогічно сліду можна показати, що , де – вільний член характеристичного полінома елемента .