Автоморфізми скінченних полів

u Автоморфізмом поля над підполем називається автоморфізм , що має властивість . Іншими словами, автоморфізм скінченного поля над підполем залишає елементи підполя на місці (див. рисунок).

Існує тісний зв’язок між спряженими елементами та автоморфізмами скінченного поля.

ТЕОРЕМА 49. Різними автоморфізмами поля над полем є автоморфізми виду , , і лише вони.

4 Покажемо, що – автоморфізм над :

;

.

Оскільки (очевидно), то s – бієкція. Якщо , то , тобто s – автоморфізм над .

Навпаки: нехай – автоморфізм над . Будь-який ненульовий елемент зображується у вигляді , де b – примітивний елемент поля . Розглянемо мінімальний поліном елемента b: .

. Таким чином, оскільки s – автоморфізм, то

тобто – теж корінь незвідного полінома , а внаслідок теор. 33 всі корені незвідного полінома спряжені, отже, , . Повертаючись до елемента , маємо , що і вимагалося довести.3

З доведеної теореми видно, що спряжені з даним елементом відносно елементи можна одержувати, діючи на різними автоморфізмами над .

Оскільки автоморфізми над утворюють групу відносно операції композиції відображень, то з теор. 49 випливає, що ця група є циклічною з твірним елементом .

Контрольні питання до §20-22

1. Дати визначення сліду елемента, абсолютного сліду, характеристичного полінома елемента.

2. Сформулювати властивості сліду.

3. Сформулювати теорему про транзитивність сліду.

4. Дати визначення норми елемента. Сформулювати властивості норми.

5. Дати визначення базису в полі над підполем, дуального та авто дуального базисів, поліноміального та нормального базисів.

6. Дати визначення автоморфізму поля над підполем.

7. Сформулювати теорему про зв'язок спряжених елементів з автоморфізмами скінченного поля.