Приклад. Розглянемо кільце , що складається з класів лишків [0],[1],[2],[3],[4],[5]:

Розглянемо кільце , що складається з класів лишків [0],[1],[2],[3],[4],[5]:

– необоротний; – не існує;

; – не існує;

– не існує (тобто 2 – .

необоротний елемент);

Якщо достатньо велике, то перебором знайти обернений елемент до даного оборотного елемента складно. Існує універсальний спосіб, який викладається нижче.

Як зазначено у п.1, Z є евклідовим кільцем, тобто в Z можливе ділення з лишком. Тому, використовуючи алгоритм Евкліда, можна знайти найбільший спільний дільник чисел і (позначимо його як :

. (1)

ТЕОРЕМА 1. Якщо , то можна представити у вигляді лінійної комбінації і : (причому один з коефіцієнтів – від’ємний).

4Виражаючи з передостанньої рівності в (1) через , а , в свою чергу, через і так продовжуючи, дійдемо до першої рівності, виразивши таким чином лінійно через і .3