Краевые задачи Неймана

На поверхности иногда заданы не значения функции, а ее нормальные производные. Тогда это задача Неймана, которая также может быть и внутренней и внешней.

Краевое условие в этом случае имеет вид

Для сферы имеет место равенство , поэтому краевое условие можно записать так:

(8.9)

где -- функция Лапласа.

Поскольку , для выполнения теоремы Гаусса для гармонических функций о потоке необходимо, чтобы выполнялось условие , что эквивалентно условию .

Внутренняя проблема Неймана	Внешняя проблема Неймана
Нетрудно убедиться, что решением внутренней проблемы Неймана будет	Эту проблему на сфере решает функция
(8.10)	(8.11)
Действительно, эта функция гармоническая, так как состоит из суммы шаровых функций первого рода, а подстановка ее в краевое условие (8.9) убеждает нас, что оно выполняется.	В справедливости этого утверждения предлагаем убедить самостоятельно.