Вторые производные гравитационного потенциала

Гравитационный потенциал, а вернее силовая функция для удельной силы тяжести является непрерывной функцией. Принимающей единственное значение в каждой точке пространства. Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности) как угодно плотно заполняют внешнее пространство, нигде не пересекаясь. Вектор силы тяжести в точке P направлен перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, гравитационный потенциал во внешнем пространстве образует силовое поле. Оно пронизано силовыми линиями, причем направление силы тяжести совпадает с касательной к силовой линии.

Из сказанного следует, что силовые линии не могут пересекаться, так как в точке пересечения не может существовать два вектора силы тяжести. Вектор силы тяжести (удельной) можно записать следующим образом

где -- орты, направленные соответственно вдоль осей PX, PY и PZ. Очевидно, что составляющие вектора силы тяжести суть первые производные потенциала тяжести

В геодезической и геофизической практике рассматривают также и вторые производные гравитационного потенциала, которые отмечают двойными нижними индексами

Вторые производные потенциала можно изобразить в виде квадратной матрицы

Полученная матрица имеет 9 элементов, но не все они независимы. Совершенно очевидно, что , , . Кроме того, след этой матрицы есть лапласиан, поэтому

(7.6)

Остается 5 независимых элементов этой матрицы, которая представляет собой тензор вторых производных гравитационного потенциала.

Рассуждения можно продолжить и дальше, образуя третьи производные, четвертые и т.д. Но уже третьи производные нельзя изобразить в виде матрицы: это будет куб размером 3х3, который на двухмерном листе бумаги изобразить трудно. Совершенно невозможно изобразить в виде геометрических фигур производные более высоких порядков. Это будут тензоры высоких валентностей.

Эквипотенциальную поверхность в окрестности точки можно аппроксимировать плоскостью -- это будет касательная плоскость -- эллипсоидом, гиперболоидом и другими поверхностями второго порядка. В последнем случае уравнение этой поверхности будет иметь вид

(7.7)

Уравнение касательной плоскости получим, отбрасывая в (7.7) квадратичную форму

(7.8)

где . Величины -- суть компоненты вектора силы тяжести. Изменяя постоянную , получим семейство плоскостей, параллельных той, что проходит через точку P.

Для упрощения выкладок, часто направление местной геодезической системы выбирают следующим образом: ось PX направляют на север, ось PY -- строго на восток, а ось PZ совпадает с вектором силы тяжести и направлена вертикально вниз. В этом случае . Уравнение(7.8) принимает вид . Обозначим приращение высоты буквой , получим формулу для вычисления приращения потенциала , которую часто называют формулой Брунса.

Определим кривизну нормального сечения уровенной поверхности . Решим это уравнение относительно переменной : . Тогда радиус кривизны в точке по формуле Монжа определяется формулой , где -- угол, который образует ось PX с плоскостью нормального сечения. В данной формуле буквами обозначены вторые производные

Наша поверхность уровня задана не разрешенной относительно вертикальной координаты. Поэтому нам нужно получить формулу для кривизны сечения поверхности, заданной в неявном виде. Продифференцируем зависимость по одной из координат, например по . Тогда

Дифференцируя второй раз, получим:

Но точка есть точка касания, где , поэтому . Используя обозначения Монжа, будем иметь . Рассуждая аналогичным образом, легко получим , . Теперь формула Монжа принимает вид

(7.9)

Рассмотрим важные частные случаи:

• Меридиональное сечение (A=0). Радиус кривизны: . Кривизна:

(7.10)

• 
  
• Сечение в первом вертикале (А=90°). Радиус кривизны: . Кривизна:

(7.11)

Итак, вторые производные потенциала тяжести определяют кривизну (радиус кривизны) нормального сечения уровенной поверхности. Остается выяснить физический или геометрический смысл еще трех вторых производных: .

Поскольку , то Горизонтальную компоненту этого градиента называют горизонтальным градиентом силы тяжести, а вертикальную компоненту - вертикальным градиентом силы тяжести.

Выведем теперь формулу для вертикального градиента силы тяжести. Если точка внешняя, то справедливо уравнение . Для внутренней точки уравнение Лапласа для потенциала притяжения превращается в уравнение Пуассона, тогда . Перепишем равенство в наших обозначениях

Из формул (7.10) и (7.11) следует, что , , поэтому

(7.12)

Мы видим, что для вычисления вертикального градиента силы тяжести необходимо знать радиусы кривизны нормальных сечений уровенной поверхности, плотность и угловую скорость вращения Земли. Наоборот, если нас интересует плотность пород, окружающих точку наблюдения, нужно измерить вертикальный градиент силы тяжести. Поэтому измерение вертикального градиента является очень важной задачей для целей гравитационной разведки.

В заключении, приведем основные формулы для вторых производных нормального потенциала. Как мы видели, поверхностью уровня в этом случае является эллипсоид вращения. Радиус кривизны меридионального сечения эллипсоида равен , а сечения в первом вертикале

(7.13)

Ограничиваясь малыми порядка сжатия, получим

(7.14)

где нужно взять из нормальной формулы (7.5).

Заметим, что -- достаточно малая величина. Основной вклад в вертикальный градиент силы тяжести вносит . Легко видеть, что вторые производные потенциала по горизонтальным координатам приблизительно в два раза меньше вертикального градиента силы тяжести и имеют противоположный знак. Для того, чтобы привести численные значения коэффициентов в формулу (7.14) необходимо договорится о единицах измерения. В геофизике принято градиент силы тяжести измерять в Этвешах, по имени венгерского ученого Лоранда Этвеша, который создал прибор для измерения вторых производных гравитационного потенциала. Установлено, что один Этвеш (1 Э) равен градиенту, соответствующему 0,0001 мГал/м или в метрической системе единиц .

Прежде, чем привести численные значения, сделаем еще одно замечание. Со времени Этвеша основным инструментом для измерения вторых производных потенциала тяжести служит коромысло, на концах которого закреплены на разной высоте массы. Ось вращения коромысла -- вертикальна. Неоднородность поля тяжести создает момент, вращающий коромысло, который уравновешивается моментом упругой силы. Не останавливаясь на подробностях (это не предмет обсуждения для нашего курса) укажем лишь, что с этим прибором можно получить четыре параметра гравитационного поля , , , . Приведем численные значения, согласованные с нормальной формулой для силы тяжести (см. Шокин П.Ф., "Гравиметрия" Геодезиздат, 1960)

(7.15)

При измерении элементов гравитационного поля в космическом пространстве серьезной помехой является невесомость: пробное тело не взаимодействует с опорой и сила, которая действует на пробное тело, не может быть измерена. Однако невесомость, строго говоря, имеет место только в одной точке космического аппарата: в центре масс. Если пробные тела разместить в разных точках космического аппарата, то гравитационные силы будут действовать по-разному. Дифференциальные измерения положения этих пробных тел позволяет получить вторые производные гравитационного потенциала.