Нормальный потенциал тяжести

Общепризнанно, что наиболее удобным геометрическим телом для модели Земли является общеземной эллипсоид (ОЗЭ) -- уровенный эллипсоид вращения. Его гравитационный потенциал (потенциал тяжести!) называют нормальным потенциалам. Условие для выбора параметров нормальной Земли:

1. Центр масс и ось вращения нормальной Земли совпадают соответственно с центром масс и осью вращения реальной Земли.
2. Угловая скорость вращения эллипсоида и реальной Земли совпадают.
3. Масса эллипсоида равна массе Земли.
4. Зональный коэффициент разложения потенциала второй степени реальной Земли равен соответствующему коэффициенту нормальной Земли.

Обозначения параметров нормальной Земли мы будем отмечать верхним или нижним индексом "0".

Итак, потенциал тяжести реальной Земли имеет вид

(6.1)

где -- средний экваториальный радиус Земли. Учитывая, что потенциал эллипсоида вращения содержит только зональные гармоники можно записать

(6.2)

Условие для выбора параметров нормальной Земли:

Эти четыре параметра подлежат уточнению, по мере накопления новых данных. Астрономо-геодезические исследования нуждаются в единой системе фундаментальных постоянных. Такая система обычно устанавливается на крупных международных собраниях ученых. На Генеральной Ассамблее Международного Астрономического Союза (МАС) в 1976 г принято

Несколько позже мы докажем замечательную теорему Стокса, которая утверждает, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известна также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения , то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве. Число параметров, определяющих эллипсоид вращения равно двум (большая и малая полуоси). Следовательно всего нам нужно знать четыре параметра, остальные определяются через геоцентрическую гравитационную постоянную, угловую скорость вращения, большую полуось и сжатие планеты. В формулу (6.2) входят бесчисленное множество параметров. Однако теория показывает, все стоксовы постоянные определяются через уже упомянутые четыре параметра.

Поскольку последовательность для гидростатически равновесных фигур убывает достаточно быстро, часто в формуле (6.2) для нормального потенциала ограничиваются только первым членом суммы. Тогда нормальный потенциал тяжести принимает вид

(6.3)

Отбрасывание малых членов в разложении потенциала приводит к тому, что поверхность где -- постоянная величина, уже перестает, строго говоря, быть эллипсоидом. Такую поверхность, близкую к сфере, называют сфероидом.

Перепишем уравнение сфероида в следующем виде

(6.4)

Введем обозначение . Формула (6.4) теперь принимает вид

Поскольку и -- малые величины, уравнение сфероида можно представить так

(6.5)

где -- сжатие планеты. Пренебрегая величинами порядка , уравнение сфероида (6.4) можно упростить. Заметим, что

следовательно,

Сравнивая полученное выражение с (6.5), получим

(6.6)

Таким образом, сжатие равновесной планеты зависит от стоксовой постоянной и безразмерной угловой скорости вращения , которая имеет простой физический смысл: это отношение центробежной силы на экваторе к величине, достаточно близкой к силе тяжести на экваторе. Такой гидростатически равновесный сфероид носит название сфероида Клеро, по имени французского математика, работавшего над теорией равновесных фигур планет.

Сжатие для сфероида Клеро можно записать и так

где -- среднее значение из двух экваториальных моментов инерции. Четырьмя фундаментальными постоянными, в данном случае, являются .

При выводе формулы для сжатия планеты мы не пользовались никакими гипотезами о ее строении. Клеро же рассматривал гидростатически равновесную модель, полагая, что массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев. Им построена не только зависимость сжатия планеты от ее угловой скорости вращения, но и сжатии внутренних слоев. Показано, что эти сжатия уменьшаются по мере приближения к центру планеты.

Остается определить закон изменения силы тяжести с широтой на сфероиде Клеро также с точностью до сжатия. Из формулы (6.3) следует

Сила тяжести на экваторе

Сила тяжести на полюсе

Отношение иногда называют гравитационное сжатие. Из приведенных выше формул следует

Date: 2015-09-05; view: 509; Нарушение авторских прав