Интегральная форма ряда Лапласа

Мы уже говорили, что разложения вида (4.17) есть аналог ряда Фурье, в котором роль тригонометрических функций выполняют сферические функции. Существует также и аналог интеграла Фурье -- интегральная форма ряда Лапласа. Для того, чтобы ее получить, подставим в (4.17) постоянные и , которые определятся с помощью интегралов (4.16). Переменные, по которым производится интегрирование мы будем помечать штрихом. Таким образом

Принимая во внимание, что

получим

(4.18)

Для дальнейшего упрощения полученной интегральной формулы воспользуемся так называемой теоремой сложения сферических функций.

Пусть точка имеет постоянные координаты, а точка принадлежит элементу поверхности и имеет штрихованные координаты. Обозначим центральное расстояние между этими двумя точками греческой буквой . Тогда теорема сложения для нормированных сферических функций выглядит так

(4.19)

Теперь формулу (4.18) можно переписать следующим образом

(4.20)

Каждое слагаемое в полученной формуле часто называют функциями Лапласа

Date: 2015-09-05; view: 418; Нарушение авторских прав