Финансовая эквивалентность в страховании

В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения методов количественного анализа явля­ются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инве­стиционных проектов возникает необходимость в использова­нии условных рент (contingent annuity), в которых важную роль играют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с та­кими рентами, причем для конкретности ограничимся страхо­ванием. Выплата члена ренты в страховании зависит от насту­пления страхового события. Назовем такие ренты страховыми аннуитетами. Заранее число платежей в страховых аннуитетах, а часто и их срок, остаются неизвестными.

Согласно договору страхования страхователь уплачивает впе­ред страховщику некоторую сумму — премию {premium). В свою очередь он (или иной выгодоприобретатель) имеет право полу­чить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления этого события q заранее извест­на (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то тео­ретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фак­тора времени), премия Р определяется как

P=Sq.

Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип финан­совой эквивалентности обязательств страхователя и страховщи­ка. Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип при расчете страховой нетто-премии, под которой понимается тео­ретическая цена страхования.

На практике премия, которая поступает страховой организа­ции, обычно превышает величину нетто-премии, так как вклю­чает помимо нетто-премии и так называемую нагрузку (loading), последняя охватывает все расходы по ведению дела и некото­рую прибыль страховой организации. Определение брутто-пре-мии (нетто-премия плюс нагрузка) является чисто арифметиче­ской задачей, поэтому далее речь пойдет только о нетто-пре­мии.

Пусть Р — размер премии, q_n — вероятность страхового со­бытия (например, смерть застрахованного через п лет после на­чала страхования). Если страховое событие произойдет на пер­вом году страхования, то страховщик получит сумму Р (пусть премия выплачивается в начале года), если же это событие на­ступит во втором году, то сумма премий равна 2Р и т.д. Мате­матическое ожидание такого ряда премий составит:

Pq_{ + 2Pq₂ +... + nPq_n.

Е(А) = P[q_x + (1 + v)q₂ + (1 + v + v²)^ +... +

+ (1 + v +... + v"-Xb

где v — дисконтный множитель по ставке /.

Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq_v во втором году Sq₂ и т.д. Математи­ческое ожидание с учетом фактора времени (актуарная стои­мость) выплат, очевидно, можно определить как

E(S) = S(vq_x + v²^ +... + V^).

Исходя из принципа эквивалентности обязательств страхов­щика и страхователя, теперь можно написать равенство

E(S) = E(A),