Приклад Д-3

Механічна система (рис.Д3. а) складається з вантажу 1, ступінчастого шківа 2 з радіусами ступіней R₂ і r₂ (маса шківа рівномірно розподілена по зовнішньому ободу) та однорідного циліндричного котка 3. Коефіцієнт тертя між вантажем та площиною f. Тіла зв’язані між собою нерозтяжними нитками, намотаними на шків 2.

Під дією сили F =f(s), що залежить від переміщення вантажу 1, система починає рухатись із стану спокою. При русі на шків діє постійний момент сил опору М₂.

Дано: m₁ = 4 кг, m₂ = 10 кг, m₃ = 8 кг,

R₂ = 0,2 м, r₂ = 0,1 м, f = 0,2,

M = 0,6 Н м, F = 200(5+ 2s) H,

S₁ =0,2 м.

Визначити: швидкість V_C центра мас котка 3, коли переміщення вантажу 1 буде дорівнювати S₁.

Розв’язування.

1. Розглянемо рух незмінної механічної системи, що складається з тіл 1, 2, 3, з’єднаних між собою за допомогою ниток (рис.Д3.б). Зобразимо всі діючи на систему зовнішні сили: активні момент сил опору , реакції , сили тертя ковзання та тертя кочення .

Для визначення V_C використаємо теорему про зміну кінетичної енергії

механічної системи

, (3.1)

2. Визначимо та .

Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій окремих тіл системи. Якщо в початковий момент часу система знаходилась у стані спокою, маємо:

Для кінцевого положення системи, враховуючи, що тіло 1 виконує поступальний рух, тіло 2 – обертається навколо нерухомої осі, а тіло 3 – рухається в площині, маємо:

(3.2)

Момент інерції ступінчастого шківа, маса якого розподілена по його зовнішньому ободу, дорівнює:

(3.3)

Момент інерції однорідного котка 3, визначається за формулою:

(3.4)

Виразимо всі швидкості через невідому швидкість центра мас котка 3 :

, , (3.5) Підставимо формули (3.3) – (3.5) у вираз (3.2) і отримаємо

(3.6)

4. Тепер знайдемо суму робіт всіх діючих зовнішніх сил при переміщенні, яке буде мати система, коли вантаж 1 пройде шлях S₁.

Робота сили дорівнює:

Роботи сили ваги та реакції дорівнюють нулю, бо кут між цими силами та переміщенням S₁ складає 90⁰.

Між силою тертя ковзання та переміщенням S₁ кут 180⁰, тому A() = ,

де , бо вантаж знаходиться на горизонтальній площині.

Момент М спрямований протилежно напрямку , тому його робота дорівнює

A(M) M

Роботи сили ваги та реакції дорівнюють нулю, бо точка прикладання цих сил нерухома.

Робота сили ваги (кут між нею та переміщенням центра ваги катка дорівнює 150⁰):

.

Точка прикладання сил та є миттєвим центром швидкостей, тому робота цих сил дорівнює нулю.

Таким чином, сума робіт діючих зовнішніх сил, що діють на систему на заданому її переміщенні:

(3.7)

Виразимо всі переміщення через переміщення вантажу 1 S₁:

; (3.8)

Підставимо (3.6) та (3.7) з врахуванням (3.8) в вираз теореми (3.1) та отримаємо:

(3.9)

Підставимо чисельні значення та знайдемо швидкість центру ваги котка 3

Відповідь: