Моменты инерции тел простейшей геометрической формы

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется произведение массы m этой точки на квадрат ее расстояния h до оси:

. (3.8)

Моментом инерции материальной системы относительно оси называется сумма моментов инерции всех точек системы относительно тойже оси:

. (3.9)

При непрерывном распределении массы сумма переходит в интеграл.

Момент инерции относительно оси представляет определенно положительную величину. Размерность момента инерции в системе СИ равна .

Момент инерции однородного тонкого стержня массы М и длины l относительно оси z, проходящей перпендикулярно стержню через его конец (рис. 3.2, а), равен

(3.10)

и относительно оси, проходящей через его центр тяжести (рис. 3.2, б), равен

. (3.11)

Момент инерции материального круга смассой М и радиусом R относительно оси z, перпендикулярной плоскости круга и проходящей через его центр тяжести (см. рис. 3.3), равен

. (3.12)

Момент инерции однородного круглого цилиндра (рис. 3.4) относительно продольной оси z равен

, (3.13)

где М - масса цилиндра; R - радиус.

Моменты инерции относительно параллельных осей. Существует простая связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, а именно момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Пусть - ось, относительно которой определяется момент инерции тела (рис. 3.5), а - ось, проходящая через центр масс тела, параллельно первой. Тогда

, (3.14)

где d - расстояние между осями.

Пример. Определим момент инерции материального круга относительно оси, перпендикулярной плоскости круга и проходящей через точку, находящуюся на расстоянии R от его центра (см. рис. 3.6):