Теорема об изменении количества движения для точки

Представим дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы в виде

,

где - масса материальной точки,

- скорость движения материальной точки.

Если масса материальной точки постоянна, то ее можно внести под знак производной, тогда получим

. (4.8)

Формула (4.8) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме, которая формулируется следующим образом: первая производная по времени от вектора количества движения материальной точки равна действующей на точку силе.

Проецируя (4.8) на оси декартовой системы координат, получим

,

, (4.8^/)

,

где , , - проекции вектора скорости точки на оси координат.

Умножив обе части равенства (4.8) на , получим

. (4.9)

То есть дифференциал от вектора количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Проецируя (4.9) на оси декартовой системы координат, получим

,

, (4.9^/)

.

Проинтегрировав обе части равенства (4.9) в пределах от нуля до t, получим

, (4.10)

где – скорость точки в момент времени t,

– скорость точки в момент времени t ₀ = 0,

– импульс силы за время t.

Уравнение (4.10) представляет собой теорему об изменении количества движения материальной точки в интегральной или конечной форме, которую формулируют следующим образом: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы, действующей на эту точку за этот же промежуток времени.