Решения. Проверяем выполнение признака Лейбница:

1) .

Проверяем выполнение признака Лейбница:

Члены ряда по модулю образуют убывающую последовательность:

Но предел = = ряд – расходится.

2) .

1. Проверяем выполнение признака Лейбница:

Члены ряда по модулю образуют убывающую последовательность:

вычислим приближенно на калькуляторе: , , , … и т.д. Несмотря на то, что в начале ряда его члены не образуют убывающую последовательность, следует иметь в виду, что «хвост» ряда все равно будет состоять из таких членов, которые все-таки образуют убывающую последовательность. Это видно из формулы общего члена, взятого по модулю:

.

Из двух функций и «быстрее растет» . Значит, при увеличении знаменатель дроби всегда больше числителя, следовательно, сама дробь уменьшается.

Находим предел:

= = =

= ряд сходится по признаку Лейбница.

2. Составляем ряд из абсолютных величин чденов данного ряда и исследуем его сходимость.

.

Используем признак Даламбера:

= = =

= – ряд сходится.

3.Вывод: исходный ряд – сходится абсолютно.

3) .

1. Проверяем выполнение признака Лейбница:

Члены ряда по модулю образуют бесконечно убывающую последовательность:

При увеличении числитель дроби становится все больше, значит, сама дробь – все меньше.

Находим предел:

= = = ряд сходится по признаку Лейбница.

2. Проверим сходимость соответствующего знакоположительного ряда.

– ряд расходится как обобщенный гармоничский с показателем .

3. Вывод: исходный ряд – сходится условно.

3. Найти радиус сходимости степенного ряда с заданным (под номером N₃) коэффициентом . Проверить сходимость (абсолютную и условную) этого ряда в концах интервала сходимости, если:

1) ; 2) ; 3) .